Die Existenz "beliebig großer" zusammenhängender kompakter Mengen in der Ebene

Question

Die Existenz "beliebig großer" zusammenhängender kompakter Mengen in der Ebene

Benutzer1337

Beim Studium einiger komplexer Analysen kam ich zu folgender Hypothese:

Lassen $\Omega \subseteq \mathbb C$ sei eine Region (eine offene und zusammenhängende Menge) und sei $E \subset \Omega$ sei eine kompakte Teilmenge. Es existiert eine zusammenhängende kompakte Menge $F$ befriedigend $E \subset F \subset \Omega$ .

Ich glaube, dass dies wahr ist, und ich möchte es beweisen. Meine Idee wurde erwogen

F_{N} = {z \in Ω : | z | \leq N, Abstand (z, \partial Ω) \geq \frac{1}{N}}

$F_n=\left\{z \in \Omega:|z| \leq n,\text{dist}(z, \partial\Omega) \geq \frac{1}{n} \right\}$ für große ganze Zahlen

n

$n$ , seit

Ω

$\Omega$ selbst verbunden ist und die

F_{n}

$F_n$ „neigen“ dazu

Ω

$\Omega$ .

Leider konnte ich es nicht beweisen $F_n$ funktioniert.

Ist meine Aussage richtig? Könntest du mir bitte einen Beweis liefern?

Danke!

Antworten (1)

Die Existenz "beliebig großer" zusammenhängender kompakter Mengen in der Ebene

Daniel Fischer · Answer 1

Die Sätze $F_n$ sind kompakt, müssen aber nicht angeschlossen werden. Betrachten Sie eine Region $\Omega$ bestehend aus der unteren Halbebene, einer Scheibe mit Radius $\frac12$ und zentrieren $k+i$ für alle $k \in \mathbb{Z}$ , und für jeden $k\in\mathbb{Z}$ ein Korridor mit Breite $2^{-(4+\lvert k\rvert)}$ Verbinden der Halbebene mit der Scheibe. Dann sind die Gänge zu eng, sodass man Inseln hat $F_n$ in den Festplatten für groß genug $\lvert k\rvert < n$ die nicht mit dem Hauptkörper in der unteren Halbebene verbunden sind.

Die Aussage ist aber wahr (und daraus folgt das $E$ ist in einer zusammenhängenden Komponente von enthalten $F_n$ für alle groß genug $n$ ).

Erstens haben wir $\delta := \operatorname{dist}(E,\,\partial \Omega) > 0$ seit $E$ ist kompakt. Daher $E_1 := \{ z : \operatorname{dist}(z,\,E) \leqslant \delta/2\}$ ist eine kompakte Teilmenge von $\Omega$ . Jetzt, $E_1$ ist eine Vereinigung von (geschlossenen) Radiusscheiben $\delta/2$ , kann also nur endlich viele Zusammenhangskomponenten haben. $\Omega$ ist offen und verbunden, also wegverbunden. Jetzt können Sie alle endlich vielen verbundenen Komponenten von verbinden $E_1$ mit Pfaden drin $\Omega$ .

Kompaktheit wird also ein zweites Mal verwendet, wenn Sie darauf schließen $E_1$ kann nur endlich viele Komponenten haben, weil wir die Überdeckung durch die offenen Kugeln mit Radius betrachten $\delta/2$ . Sieht gut für mich aus.
Eigentlich habe ich das geschlussfolgert $E_1$ hat nur endlich viele Komponenten, weil jede Komponente Maß hat $\geqslant \pi/4\delta^2$ , Und $E_1$ ist begrenzt. Aber die Verwendung von Kompaktheit funktioniert auch.
@DanielFischer Danke! Ich brauchte diese Antwort, um meine andere Frage zu beantworten . Wenn Sie Zeit haben, würde ich mich freuen, wenn Sie die Antwort dort bestätigen könnten.

Die Existenz "beliebig großer" zusammenhängender kompakter Mengen in der Ebene

Benutzer1337

Antworten (1)

Daniel Fischer

Stefan Hammke

Daniel Fischer

Benutzer1337

Trenne zwei verbundene Komponenten einer abgeschlossenen Menge in einer Ebene

Alle zu Null homologen Kurven implizieren, dass der Raum einfach verbunden ist? [Duplikat]

Definition der Pfadsumme γ1:[a1,b1]→Ωγ1:[a1,b1]→Ω\gamma_1:[a_1,b_1]\rightarrow \Omega und γ2:[a2,b2]→Ωγ2:[a2,b2 ]→Ω\gamma_2:[a_2,b_2]\rightarrow \Omega

Existenz geschlossener Kurven um begrenzte Komponenten

Wer hat recht mit diesem Nachweis einer Eigenschaft der Unionsgrenze?

Eine stetige Funktion auf S1S1S^1- Einheitskreis .

Was ist mit „Nachbarschaft“ gemeint?

Ist die Menge S={(z1,z2)∈C×C:z21+z22=1}.S={(z1,z2)∈C×C:z12+z22=1}.S=\left\{\ left(z_1,z_2\right)\in \mathbb C\times \mathbb C:z_1^2+z_2^2=1\right\}. kompakt?

Elementare Klärung komplexer Quadratwurzelabbildungen

Die Menge {z∈C:|z|≥1}{z∈C:|z|≥1}\{z\in \mathbb C:|z|\geq 1\} mit Punkt im Unendlichen ist homöomorph zur abgeschlossenen Einheit Scheibe.