Elementare Klärung komplexer Quadratwurzelabbildungen

Lassen P : C − { 0 } → C − { 0 } Sei z → z 2 , welches ist A + ich B ↦ ( A 2 − B 2 ) + ich ( 2 A B ) . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra wissen wir das P ist surjektiv, und wenn w ist eine Quadratwurzel von z , Auch − w Ist. Also für jeden z ≠ 0 wir haben zwei unterschiedliche Quadratwurzeln von z .

Ich will beweisen, dass die Karte P ist eine Deckkarte.

Nun, ich kenne die komplexe Analyse nicht, aber ich habe hier auf MSE und auf Wikipedia etwas gelesen.

Wenn wir lassen z ∈ C − { 0 } , dann können wir vertreten z in Polarkoordinaten auf einzigartige Weise als z = [ R , θ ] mit R > 0 Und θ ∈ [ 0 , 2 π ) und nach der de Moivre-Formel habe ich das w 1 = [ R , θ / 2 ] Und w 2 = [ R , θ / 2 + π ] sind die beiden Quadratwurzeln von z .

Um nun eine Funktion zu definieren, muss ich mich entscheiden , wen ich als Quadratwurzel haben möchte z .

Nehmen wir also an, meine Quadratwurzelkarte ist C − { 0 } → C − { 0 } , [ R , θ ] ↦ [ R , θ / 2 ] , also nehme ich die Wurzel, die im oberen Halbraum liegt.

Das Problem ist nun, dass ich eine durchgehende Karte haben möchte. Diese Karte ist also nicht gut, da Punkte des Formulars vorhanden sind [ R , θ ] , [ R , 2 π − θ ] sind nahe beieinander, wenn θ geht zu 0 + , aber ihre Bilder sind es nicht. Aber wenn ich meine Karte darauf einschränke C − ( [ 0 , + ∞ ) × { 0 } ) , dann sollte es durchgehend sein.

Aber wie kann ich jetzt formal beweisen, dass die Karte wirklich kontinuierlich ist? Per Definition ist die Topologie auf C ist derjenige, der bei der Set-Kennung mit kam R 2 , also per Definition eine Karte C → C ist stetig genau dann, wenn sie als Karte stetig ist R 2 → R 2 .

Zum Beispiel die Karte P : C − { 0 } → C − { 0 } , z → z 2 ist kontinuierlich, weil wie eine Karte P : R 2 − { 0 } → R 2 − { 0 } , ( A , B ) → ( A 2 − B 2 , 2 A B ) es ist kontinuierlich.

Also um das zu zeigen Q : C − ( [ 0 , + ∞ ) × { 0 } ) → C , [ R , θ ] ↦ [ R , θ / 2 ] soll ich es als Map aus einer bestimmten Teilmenge schreiben R 2 zu einer bestimmten Teilmenge von R 2 und dann kontrollieren, dass es kontinuierlich ist? (Wie getan für P , so dass dies die Defyning-Formel von adaptiert Q zu "kartesischen Koordinaten")

BEARBEITEN

Wie kann ich das dann beweisen P ist eine abdeckende Karte mit einer Strategie wie dieser: Pick z ∈ C − { 0 } , lassen U eine bestimmte Menge sein. Beachten Sie das U ist offene Nachbarschaft von z und verbunden ist. Nun beobachte das P − 1 ( U ) hat die folgenden Komponenten, von denen jede homöomorph abgebildet ist U von P

Das Problem wird strittig, wenn wir darüber nachdenken [ 0 , 2 π ) als R / 2 π R , dh als [ 0 , 2 π ) eine Partitionierung von Äquivalenzklassen von R wo wir die Äquivalenzrelation haben j ≡ X ⟺ \existieren k ∈ Z | j − X = 2 k π .
oder um es anders auszudrücken ... überlegen [ 0 , 2 π ) als metrischer Raum mit D ( X , j ) = Mindest ( | X − j | , | X − j + 2 π | , | X − j − 2 π | . Dies schafft im Grunde einen neuen metrischen Raum und D ( e , 2 π − D ) = | e + D | was das im Wesentlichen behauptet 2 π = 0 .

Antworten (2)

Für M ⊂ C definieren − M = { − z ∣ z ∈ M } . Es ist leicht, das zu überprüfen P − 1 ( P ( M ) ) = M ∪ − M .

Lassen Sie uns das beweisen P ist eine offene Karte. Angenommen, es existiert eine Öffnung U ⊂ C ∗ = C ∖ { 0 } so dass P ( U ) ist nicht geöffnet. Das bedeutet, dass es eine Sequenz gibt ( z N ) In C ∗ ∖ P ( U ) konvergiert zu einigen z ∈ P ( U ) . Lassen ( w N ) sei eine Folge in C ∗ so dass w N 2 = z N . Seit ( z N ) ist ebenfalls begrenzt ( w N ) muss begrenzt werden und hat daher eine Folge, die zu einigen konvergiert w ∈ C . Wlog dürfen wir davon ausgehen w N → w . Das zeigt P ( w ) = lim P ( w N ) = lim z N = z ∈ P ( U ) . Somit w ∈ P − 1 ( P ( U ) ) = U ∪ − U , dh w ∈ U oder − w ∈ U . Seit − w N → − w , eine der Sequenzen ( w N ) Und ( − w N ) konvergiert zu einem Punkt in U . Somit w N ∈ U oder − w N ∈ U für N ≥ N 0 , Deshalb z N = P ( ± w N ) ∈ P ( U ) für N ≥ N 0 . Dies widerspricht der Tatsache, dass alle z N ∉ P ( U ) .

Das zeigen wir jetzt jeweils z ∈ C ∗ = C ∖ { 0 } hat eine offene Nachbarschaft U die gleichmäßig bedeckt ist P .

Lassen Sie uns zunächst überlegen z = − 1 . U = C ∖ [ 0 , ∞ ) ist eine offene Nachbarschaft von − 1 In C ∗ . Wir haben P − 1 ( U ) = C ∖ P − 1 ( [ 0 , ∞ ) ) = C ∖ R . Lassen v + Und v − bezeichnen die offenen Halbebenen Ich bin ( z ) > 0 Und Ich bin ( z ) < 0 , bzw. Sie sind disjunkt und ihre Vereinigung ist C ∖ R . Offensichtlich P Karten beides v ± bijektiv auf U . Seit P ist eine offene Karte, das sehen wir U ist gleichmäßig mit Blechen bedeckt v ± .

Für z ∈ C ∗ definieren H z : C ∗ → C ∗ , H z ( ζ ) = − z ζ . Dies ist ein Homöomorphismus mit Inversem H 1 / z . Wir haben H z ( − 1 ) = z . Wenn w ist eine Quadratwurzel von − z , wir bekommen P ( H w ( ζ ) ) = w 2 ζ 2 = − z ζ 2 = H z ( P ( ζ ) ) , dh P ∘ H w = H z ∘ P .

Betrachten Sie nun eine beliebige z ∈ C ∗ . Lassen w sei eine Quadratwurzel von − z . U ' = H z ( U ) ist eine offene Nachbarschaft von z und die Sätze v ± ' = H w ( v ± ) sind offen und disjunkt. Wir haben P ( v ± ' ) = P ( H w ( v ± ) ) = H z ( P ( v ± ) ) = H z ( U ) = U ' . Lassen P ( z 1 ) = P ( z 2 ) mit z 1 , z 2 entweder drin v + ' oder hinein v − ' . Lassen ζ ich = H w − 1 ( z ich ) ∈ v ± . Seit 1 / w ist eine Quadratwurzel von − ( 1 / z ) , wir bekommen P ( ζ ich ) = P ( H w − 1 ( z ich ) ) = P ( H 1 / w ( z ich ) ) = H 1 / z ( P ( z ich ) ) , somit P ( ζ 1 ) = P ( ζ 2 ) und wir schließen ζ 1 = ζ 2 und somit z 1 = z 2 . Dies zeigt, dass P ist injektiv an v ± ' . Deshalb P Karten v ± ' homöomorph auf U ' . Das bleibt zu zeigen P − 1 ( U ' ) = v + ' ∪ v − ' . Lassen ζ ∈ P − 1 ( U ' ) , dh P ( ζ ) ∈ U ' = H z ( U ) . Daher ζ 2 = − z ζ ' = w 2 ζ ' mit etwas ζ ' ∈ U . Wir fassen zusammen P ( − ζ / w ) = ( − ζ / w ) 2 ∈ U , somit − ζ / w ∈ v ± . Das heisst ζ = H w ( − ζ / w ) ∈ H w ( v ± ) = v ± ' .

Anmerkung:

Dieser Beweis ist ganz elementar. Es verwendet keine Theoreme der komplexen Analysis. Die einzigen Zutaten sind die Kontinuität der komplexen Multiplikation und die Tatsache, dass jede komplexe Zahl eine Wurzel hat (die explizit berechnet werden kann, siehe Wie bekomme ich die Quadratwurzel einer komplexen Zahl? ).

Ihre Antworten entsprechen immer voll und ganz meinem Anspruch an Strenge und Eleganz in dem Sinne, dass sie, wenn ich sie betrachte, so "natürlich" erscheinen. In meinen letzten drei Fragen habe ich viel von Ihnen gelernt! Vielen Dank :)

Was Sie im letzten Feld fragen, ist richtig, aber man muss genau sagen, welche Teilmengen, und es müssen offene Teilmengen sein.

Beispielsweise können Sie die Domäne von einschränken P zur offenen Teilmenge

C X + = { z = X + ich j ∣ X > 0 }
und Sie können den Bereich einschränken P zur offenen Teilmenge
C − ( ( − ∞ , 0 ] × { 0 } )
und das Ergebnis ist eine Karte
P X + : C X + → C − ( ( − ∞ , 0 ] × { 0 } )
was natürlich durch die Formel gegeben ist P X + ( z ) = z 2 . Diese Abbildung ist eine stetige Bijektion mit einer stetigen Inversen, dh sie ist ein Homöomorphismus.

Wenn Sie sorgfältig noch ein paar solcher Einschränkungen schreiben, dann erhalten Sie alle Stücke, die Sie brauchen, um das zu beweisen P ist eine Deckkarte.

Aber ich soll die "Formel" umrechnen P − 1 in "kartesischen Koordinaten" (wie für getan P in der Post) zum Abschluss der Kontinuität? Oder gibt es "andere Charakterisierungen", die ich verwenden kann? Da das Schreiben der Quadratwurzelkarte in kartesischen Koordinaten hässlich ist, dachte ich, dass es eine elegantere Möglichkeit geben sollte, die Angelegenheit zu sehen.
Mit anderen Worten, was ist der strengste (und möglicherweise eleganteste) Weg, dies zu beweisen P ist eine Abdeckkarte? (Angenommen, im Moment ist das einzige, was mir offensichtlich ist, die Kontinuität und Surjektivität von P und die Tatsache, dass seine Fasern 2 Elemente haben)
Dies sollte beispielsweise die Form haben: pick z ∈ C − { 0 } , lassen U eine bestimmte Menge sein. Beachten Sie das U ist offene Nachbarschaft von z und verbunden ist. Nun beobachte das P − 1 ( U ) hat die folgenden Komponenten, auf die jede homöomorph abgebildet wird U von P .
Es ist einfach genug, die Formel für die Umkehrung zu schreiben, indem Sie das verwenden, was Sie aus der analytischen Geometrie kennen; Welche Formel die eleganteste ist, kann jeder selbst entscheiden. Aber die Umkehrung wird sicherlich je nach Domäne und Reichweitenbeschränkung unterschiedliche Formeln haben.
Weißt du, dass P : S 1 → S 1 , P ( z ) = z 2 ist eine Abdeckkarte? Wenn ja, werde ich Ihnen einen sehr einfachen Beweis liefern, dass auch Ihre Karte eine ist.
@PaulFrost Leider nicht. Eigentlich wollte ich das beweisen P : S 1 → S 1 ist eine überdeckende Karte, indem man zuerst beweist, dass P : C − { 0 } → C − { 0 } eine überdeckende Karte ist und dann das folgende Lemma anwenden: Wenn P : E → X ist eine abdeckende Karte, und Y ist eine verbundene und lokal pfadverbundene Teilmenge von X , Dann P : P − 1 ( Y ) → Y ist eine Deckkarte.
@PaulFrost Aber es ist kein Problem, den umgekehrten Weg zu gehen, wenn Sie denken, dass es bequemer ist, dh wenn Sie denken, dass es einfacher ist, das zuerst zu beweisen P : S 1 → S 1 ist eine abdeckende Karte und dann , um das zu beweisen P : C − { 0 } → C − { 0 } ist eine Deckkarte
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