Beweisen Sie grundlegende Ungleichungen komplexer Zahlen

Question

Beweisen Sie grundlegende Ungleichungen komplexer Zahlen

Ungleichheit
Mathematik
komplexe Zahlen
komplexe Analyse
Algebra-Vorkalkül

Benutzer198044

Lassen

z_{1} = A_{1} + B_{1} ich

$z_1 = a_1 + b_1i$

z_{2} = A_{2} + B_{2} ich

$z_2 = a_2 + b_2i$

Wo

| z_{J} | = \sqrt{A_{J}^{2} + B_{J}^{2}}

$|z_j| = \sqrt{a_j^2 + b_j^2}$

Beweisen

$| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$ $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$
$| z_{1} + z_{2} | \geq | z_{1} | - | z_{2} |$ $|z_1 + z_2| \ge |z_1| - |z_2|$
$| z_{1} - z_{2} | \geq | z_{1} | - | z_{2} |$ $|z_1 - z_2| \ge |z_1| - |z_2|$
$(2) ⟺ (3)$ $(2) \iff (3)$

Ich habe das Obige auf 3 und 4 in Schaums komplexen Variablen unten gestützt:

Ich kann keine Polarkoordinaten verwenden, da diese später vorgestellt werden. Diese werden im Zusammenhang mit der Absolutwertfunktion dargestellt

$L H S = \sqrt{(A_{1} + A_{2})^{2} + (B_{1} + B_{2})^{2}}$ $LHS = \sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}$

R H S = \sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2}} + \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}

$RHS = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2}$

$L H S = \sqrt{(A_{1} + A_{2})^{2} + (B_{1} + B_{2})^{2}}$ $LHS = \sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}$

R H S = \sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2}} - \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}

$RHS = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} - \sqrt{a_2^2 + b_2^2}$

$L H S = \sqrt{(A_{1} - A_{2})^{2} + (B_{1} - B_{2})^{2}}$ $LHS = \sqrt{(a_1-a_2)^2 + (b_1-b_2)^2}$

R H S = \sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2}} - \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}

$RHS = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} - \sqrt{a_2^2 + b_2^2}$

Das sieht nach Vorkalkül aus, aber ich sehe es nicht. Vielleicht habe ich meine komplexe Analyse falsch verstanden?

$L H S_{2} \geq L H S_{3}$ $LHS_2 \ge LHS_3$ das beweist also $\implies$ , aber was ist mit $\impliedby$ ?

stochasticboy321

Hinweis für 1,2,3: Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung liefert

| u_{1} u_{2} | + | v_{1} v_{2} | \leq \sqrt{u_{1}^{2} + v_{1}^{2}} \times \sqrt{u_{2}^{2} + v_{2}^{2}}

$|u_1u_2 | + |v_1v_2| \le \sqrt{u_1^2 + v_1^2} \times \sqrt{u_2^2 + v_2^2}$ für alle echt

(u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2})

$(u_1,u_2,v_1,v_2)$

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Beweisen Sie grundlegende Ungleichungen komplexer Zahlen

Hinweis für 1,2,3: Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung liefert $|u_1u_2 | + |v_1v_2| \le \sqrt{u_1^2 + v_1^2} \times \sqrt{u_2^2 + v_2^2}$ für alle echt $(u_1,u_2,v_1,v_2)$

Mike · Answer 1

Betrachten Sie das Konjugat $\bar{z} = x - yi$ einer komplexen Zahl $z = x + yi$ . Es hat einige elementare Eigenschaften wie:

$\bar{\bar{z}} = z$
$\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$
$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
$|z|^2=z \cdot \bar{z}$

Auch eine offensichtliche Eigenschaft komplexer Zahlen ist

$x =Re(z) \leq |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Man verifiziert obige Tatsachen mit einer einfachen Rechnung. Dann folgt die Dreiecksungleichung:

$|z + w|^2 = (z + w)\cdot \overline{(z + w)} = (z + w)\cdot(\bar{z} + \bar{w}) = |z|^2 + z\cdot\bar{w} + \bar{z} \cdot w + |w|^2$

Aber $\overline{z\cdot\bar{w}} = \bar{z} \cdot w$ , Und $\overline{z\cdot\bar{w}} + \bar{z} \cdot w = 2Re(\bar{z}\cdot w)$ - eine weitere einfache Berechnung. Auch, $2Re(\bar{z}\cdot w) \leq 2 |\bar{z}\cdot w| = 2 |z||w|$ - (seit $|z\cdot w|^2 = (z \cdot w)\cdot \overline{z \cdot w} = |z|^2 |w|^2$

Deshalb

$|z|^2 + z\cdot\bar{w} + \bar{z} \cdot w + |w|^2 = |z|^2 + 2Re(\bar{z}\cdot w) + |w|^2 \leq |z|^2 + 2|z||w| + |w|^2 =(|z| + |w|)^2$

Alles zusammenfügen

$|z + w|^2 \leq (|z| + |w|)^2 \implies |z + w| \leq (|z| + |w|)$

2 und 3 in Ihrer Frage folgen mit einem netten Trick unter Verwendung der Dreiecksungleichung für (2):

$|z| = |z + w - w| \leq |z + w| + |w| \implies |z| - |w| \leq |z + w|$

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Benutzer198044

stochasticboy321

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Mike

Gibt es einen natürlichen Weg, um zu beweisen, dass trigonometrische Identitäten auch für komplexe Zahlen gelten?

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