Ist die folgende Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wahr?

Ich denke, Ihr Beweis für den Fall$k = 2$Und$n = 3$ist gültig.

Ohne explizit mathematische Induktion zu verwenden, wie in Jorges Antwort - obwohl Induktion immer letztendlich benötigt wird, um einen informellen Beweis wie diesen zu rechtfertigen - kann man sehen, dass die Ungleichung für allgemein$n \geqslant 2$folgt fast unmittelbar aus der Cauchyschen Ungleichung, indem einfach die meisten Terme aus dem erweiterten Produkt des letzten verloren gehen$n - 1$eingeklammerte Summen, also:

$$\begin{multline*} \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}^2\right) \left(\sum_{i=1}^ka_{2,i}^2\right) \cdots \left(\sum_{i=1}^ka_{n,i}^2\right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}^2\right) \left(\sum_{i=1}^ka_{2,i}^2 \cdots a_{n,i}^2\right) = \\ \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}^2\right) \left(\sum_{i=1}^k(a_{2,i} \cdots a_{n,i})^2\right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}(a_{2,i} \cdots a_{n,i})\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}a_{2,i} \cdots a_{n,i}\right)^2. \end{multline*}$$

Dieser Beweis "verrät" so viel, dass die resultierende Ungleichheit, wenn$n > 2,$ist sehr schwach. Dies wird durch die Tatsache veranschaulicht, dass, falls vorhanden$b_1, b_2, \ldots, b_n$so dass$a_{j,i} = b_j,$für$j = 1, 2, \ldots, n,$Und$i = 1, 2, \ldots, k,$dann reduziert sich die Ungleichheit auf$(kb_1^2)(kb_2^2)\cdots(kb_n^2) \geqslant (kb_1b_2 \cdots b_n)^2,$dh,$k^n \geqslant k^2,$was wenig interessiert wann$n > 2$!

Das erklärt wahrscheinlich, warum der Fall$n > 2$wird selten erwähnt. Ich habe den Fall gefunden$n = 3$gegeben als Übung XVa, Problem 37 in Clement V. Durell, Advanced Algebra , Vol. 3, No. III (Bell, London 1937). Eine aktuellere Referenz ist Übung 1.3 in J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class (Cambridge University Press / Mathematical Association of America 2004). Steele gibt einen überraschend komplizierten Beweis, weshalb ich es für sinnvoll hielt, diesen sehr einfachen zu geben. (Im Wesentlichen dupliziert es Jorges Beweis, aber die Idee scheint es wert, in anderen Worten wiederholt zu werden.)

Hier ist ein bisschen Kontext (das ist zugegebenermaßen übertrieben, siehe den letzten Absatz meiner Antwort). Die von Ihnen erwähnte Ungleichung ist wahr und ein Spezialfall der verallgemeinerten Hölder-Ungleichung . Genauer gesagt lassen$a_1,a_2,\dots,a_n\in\ell^{n}$für eine gegebene ganze Zahl$n\ge2$. Dann sagt Ihnen das pauschal Hölder

$$\lVert a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n\rVert_{\ell^1}\le\lVert a_1\rVert_{\ell^n}\cdot\ldots\cdot\lVert a_n\rVert_{\ell^n}.$$

Das sagt dir das

$$\lVert a_1\rVert_{\ell^n}\cdot\ldots\cdot\lVert a_n\rVert_{\ell^n}\le\lVert a_1\rVert_{\ell^2}\cdot\ldots\cdot\lVert a_n\rVert_{\ell^2}.$$

Dein Fall, Vektoren rein$\mathbb R^k$, sind ein Spezialfall des Obigen, da ein Vektor$a=(a^{(1)},\dots,a^{(k)})\in\mathbb R^k$kann immer eingebettet werden$\ell^n$als Folge

$$(a^{(1)},\dots,a^{(k)},0,0,\dots).$$

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Abschließend möchte ich mich für die Verwendung eines Konzepts entschuldigen, das$\ell^p$Räume (siehe zum Beispiel https://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space#The_p-norm_in_finite_dimensions und den folgenden Abschnitt), die definitiv nicht in der High School anzutreffen sind 😅.

Diese Beweise setzen voraus, dass Sie mit dem Konzept der mathematischen Induktion vertraut sind.

Aussage gilt nicht für$n=1, k \neq 1$.

Für jeden$k$, fahre per Induktion fort$n$(Fall$n=2$ist Cauchy-Schwarz). Dann können wir auf den Fall reduzieren$n-1$als

$\left( \sum_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^k b_i^2 \right) \geq \sum_{i=1}^k (a_ib_i)^2$

Diese Ungleichung gilt, weil$(a_ib_j)^2 \geq 0; i \neq j$. Weitere Details bleiben als Execise.

Angenommen, wlog, dass alle Nummern$\{a_{i,j}\}$sind nichtnegativ. Der Fall$n=1,2$ist klar, also nehmen wir als Induktionsvoraussetzung an, dass

$$\sum_{j=1}^ka_{1,j}\cdots a_{(n-1),j} \leq \left(\sum_{j=1}^ka_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^ka_{(n-1),j}^2\right)^{1/2}.$$ Definieren$c_j = a_{n,j}/\left(\sum_{j=1}^ka_{n,j}^2\right)^{1/2}$, dann mit der Hypothese: $$\begin{align} \sum_{j=1}^kc_ja_{1,j}\cdots a_{(n-1),j} &= \sum_{j=1}^kc_j^{1/(n-1)}a_{1,j}\cdots c_j^{1/(n-1)}a_{(n-1),j} \leq\left(\sum_{j=1}^kc_ja_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^kc_ja_{(n-1),j}^2\right)^{1/2} \\&\leq\left(\sum_{j=1}^ka_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^ka_{(n-1),j}^2\right)^{1/2}, \end{align}$$ seit$c_j \leq 1$für alle$j$. Zurück ersetzen$a_{n,j}$, und beide Seiten mit multiplizieren$\left(\sum_{j=1}^ka_{n,j}^2\right)^{1/2}$: $$\sum_{j=1}^ka_{1,j}\cdots a_{n,j} \leq\left(\sum_{j=1}^ka_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^ka_{n,j}^2\right)^{1/2},$$ somit ist die Zielungleichung per Induktion bewiesen.

EDIT: Ein weiterer dummer Beweis. Lassen$\{x_{i,j}\}$sei nichtnegativ und gehe davon aus$n \geq 2$, dann mit AM-GM

$$x_{1,j}\cdots x_{n,j}\leq \frac{x_{1,j}^n+\cdots+x_{n,j}^n}{n}.$$

Nehmen Sie nun die Substitution vor$x_{i,j} = a_{i,j}/\left(\sum_{l=1}^k a_{i,l}^2\right)^{1/2}$, dann seit$0\leq x_{i,j} \leq 1$

$$x_{1,j}\cdots x_{n,j}\leq \frac{x_{1,j}^n+\cdots+x_{n,j}^n}{n}\leq\frac{x_{1,j}^2+\cdots+x_{n,j}^2}{n}.$$ Summieren Sie beide Seiten zusammen$j$gibt: $$\frac{\sum_{j=1}^ka_{1,j}\cdots a_{n,j}}{\left(\sum_{j=1}^ka_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^ka_{n,j}^2\right)^{1/2}} \leq 1,$$ was die Zielungleichung ist.