Bereich von xxx, für den die Modulungleichung gilt: |x2−2x−8|>2x|x2−2x−8|>2x|x^2-2x-8| > 2x : Klärungsbedarf bezüglich des Lösungssatzes

Question

Bereich von xxx, für den die Modulungleichung gilt: |x2−2x−8|>2x|x2−2x−8|>2x|x^2-2x-8| > 2x : Klärungsbedarf bezüglich des Lösungssatzes

Ungleichheit
Quadratik
Mathematik
Absolutwert
Algebra-Vorkalkül
Lösungsverifikation

Ganit

$|x^2-2x-8| > 2x \\$

Für dieses Problem habe ich zwei Fälle in einem Fall genommen $x^2-2x-8 \geq 0$ und im zweiten fall $x^2-2x-8 \lt 0$ .

$1st$ Fall wann $x^2-2x-8 \geq 0$ :-

$x^2-2x-8 \gt 2x$

Für diesen Fall habe ich die Lösung so eingestellt $x \in (-\infty,-2] \cup \biggl(2(1+\sqrt{3}),\infty\biggr)$ beim Lösen der beiden obigen Gleichungen dh $x^2-2x-8 \geq 0$ Und $x^2-2x-8 \gt 2x$ und dann den gemeinsamen Wertebereich von nehmen $x$ aus den Lösungen der beiden Gleichungen.

$2nd$ Fall wann $x^2-2x-8 \lt 0$ :-

$-(x^2-2x-8) \gt 2x$

Für diesen Fall habe ich die Lösung so eingestellt $x \in (-2,2\sqrt{2})$

Ich bin verwirrt, wie ich den Gesamtlösungssatz für das ursprüngliche Problem als Ganzes bestimmen soll, denn wenn wir den Lösungssatz für beide oben genannten Fälle auf der Zahlenlinie darstellen, sollte nach meinem Verständnis der gemeinsame Bereich von beiden Lösungssätzen der sein Antwort und wenn das der Fall ist, sollte die Antwort sein $x \in (-2,2)$ da dies der Bereich ist, den die beiden Lösungssätze gemeinsam haben, aber leider ist die Antwort anders.

Kann mir bitte jemand dabei helfen und bei der Klärung helfen, wie Sie in diesen Fällen den Lösungssatz bestimmen?

mathlove

Im ersten Fall habe ich

x \in (- \infty, - 2] \cup (2 (1 + \sqrt{3}), \infty)

$x \in (-\infty,\color{red}{-}2] \cup \biggl(2(1+\sqrt{3}),\infty\biggr)$ .

Ganit

Mein Fehler, ich habe das korrigiert...

Antworten (3)

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Im ersten Fall habe ich $x \in (-\infty,\color{red}{-}2] \cup \biggl(2(1+\sqrt{3}),\infty\biggr)$ .

Siong Thye Goh · Answer 1

Sie sollten die Vereinigung der beiden Regionen nehmen, da Sie alle möglichen sammeln möchten $x$ damit die Bedingungen wahr sind.

Wenn Sie dies tun, erhalten Sie $(-\infty, 2\sqrt2) \cup (2(1+\sqrt{3}, \infty)$ .

und was ist, wenn sich einige der Regionen überlappen, sollten wir dann in diesem Szenario nur die überlappende Region nehmen?
Sie überlappen sich nicht, da es sich bei den beiden von Ihnen betrachteten Fällen um Partitionen handelt. wir können nicht haben $x^2-2x-8 \ge 0$ Und $x^2-2x-8 < 0$ gleichzeitig.
OK ... aber nehmen Sie an, in einer anderen Frage ... es kam eine Situation, in der sich zwei Bereiche überlappen, sollten wir dann die in dieser Situation festgelegte Lösung nur für die überlappenden Bereiche nehmen oder den gesamten Bereich addieren?
das würde davon abhängen, was Sie versuchen zu tun. Wenn Sie möchten, dass zwei Bedingungen gleichzeitig gelten, nehmen wir ihren Schnittpunkt. Wenn wir versuchen, eine Bedingung zu finden, nehmen wir die Vereinigung, solange eine Bedingung gilt.
habe es ... danke für die Klarstellung ... und all die Hilfe ...

Ankit Saha · Answer 2

Sie scheinen den Bereich genommen zu haben, der den beiden Lösungssätzen gemeinsam ist. Mit anderen Worten, Sie haben den Schnittpunkt der beiden Mengen genommen, was ebenfalls falsch gemacht wird, da der Schnittpunkt der beiden Fälle, die Sie genommen haben, eine Nullmenge ist, da diese beiden Bedingungen nicht gleichzeitig wahr sein können. $x^2-2x-8 \geq 0$ UND $x^2-2x-8 < 0$ Ist nicht möglich.

{X^{2} - 2 X - 8 \geq 0} \cap {X^{2} - 2 X - 8 < 0} = ϕ

$\{x^2-2x-8 \geq 0 \} ~ \cap ~ \{x^2-2x-8 < 0 \} = \phi$ Die endgültige Lösungsmenge, nach der Sie suchen, ist die Vereinigung der beiden Mengen, weil entweder

x^{2} - 2 x - 8 \geq 0

$x^2-2x-8 \geq 0$ ODER

x^{2} - 2 x - 8 < 0

$x^2-2x-8 < 0$ . ODER bedeutet, dass Sie die Vereinigung der Mengen bilden sollen.

{X^{2} - 2 X - 8 \geq 0} \cup {X^{2} - 2 X - 8 < 0} = (- \infty, 2 \sqrt{2}) \cup (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)

$\{x^2-2x-8 \geq 0 \} ~ \cup ~ \{x^2-2x-8 < 0 \} = (-\infty, 2\sqrt2) \cup (2+2\sqrt{3}, \infty)$

Jose Carlos Santos · Answer 3

Betrachten Sie den ersten Teil. Sie haben geschrieben, dass Sie sich mit dem Fall befassen, in dem $x^2-2x-8\geqslant0$ . Das bedeutet, dass $x\leqslant-2$ oder das $x\geqslant4$ . Dann hast du die Ungleichung gelöst $x^2-2x+8>2x$ , und das solltest du haben $x>2+2\sqrt3$ oder das $x<2-2\sqrt3$ . Also, die Lösung, wenn Sie sich in der ersten Situation befinden, ist die $x\in(-\infty,-2]\cup\left[2+2\sqrt3,\infty\right)$

Nun der zweite Teil. Das behaupten $x^2-2x-8<0$ bedeutet, dass $x\in(-2,4)$ . Und das behaupten $-(x^2-2x-8)>2x$ bedeutet, dass $x\in\left(-2\sqrt2,2\sqrt2\right)$ . Also, die Lösung, wenn Sie sich in der zweiten Situation befinden, ist die $x\in\left(-2,2\sqrt2\right)$ .

Die globale Antwort lautet also $x\in\left(-\infty,2\sqrt2\right]\cup\left[4,\infty\right)$ .

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