Finden Sie den Parameter der quadratischen Gleichung so, dass er in einem Bereich positiv/negativ ist

Finden$m\in\mathbb{R}$so dass Ungleichheit$x^2-(m+2)x+5-m<0$ist gültig$\forall~x\in(1;3)$.

Wie ich darüber denke:

Satz$x^2-(m+2)x+5-m=0$

Die Parabel wird nach oben ausgerichtet. Um die Hypothese zu erfüllen, benötigen wir folgende Bedingungen:

$x_1\leq1,~x_2\geq3$

Koeffizienten schreiben:

$\begin{cases} a=1 \\ b=-(m+2) \\ c=5-m \end{cases}$

Diskriminante berechnen:

$\Delta=b^2-4ac=m^2+8m-16$

Bedingung setzen$\Delta>0$Die Gleichung hat also 2 verschiedene reelle Wurzeln:

$m^2+8m-16>0$

Satz$m^2+8m-16=0$und finde die Wurzeln:

$m_1=-4(\sqrt{2}+1),~m_2=4(\sqrt{2}-1)$

$m\in(-\infty;m_1)\cup(m_2;\infty)\Rightarrow m\in\big(-\infty;-4(\sqrt{2}+1)\big)\cup\big(4(\sqrt{2}-1);\infty\big)$

Finden Sie nun die Wurzeln der Anfangsgleichung:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m+2\pm\sqrt{\Delta}}{2}$

Ersatz in den Bedingungen:

$\frac{m+2-\sqrt{\Delta}}{2}\leq1\Rightarrow m\leq\sqrt{\Delta}$

$\frac{m+2+\sqrt{\Delta}}{2}\geq3\Rightarrow -m+4\leq\sqrt{\Delta}$

Ersatz$\Delta$und löse das Ungleichungssystem:

$\begin{cases} m\leq\sqrt{m^2+8m-16} \\ -m+4\leq\sqrt{m^2+8m-16} \end{cases}$

Wir können beide Seiten quadrieren, es sei denn, die linke Seite ist negativ . Beispiel :$-2<1$Aber$(-2)^2<1^2$ist falsch. Wie kann ich vorgehen? Eine Idee wäre, eine Tabelle mit Zeichen für zu erstellen$m$Und$-m+4$und berücksichtigen Sie alle möglichen Fälle, dann nehmen Sie am Ende die Wiedervereinigung. Gibt es eine einfachere Möglichkeit, diese Gleichungen mit Quadratwurzeln zu lösen? Verkompliziere ich dieses Problem auch? danke für die Hilfe