Wie gehen Sie vor, wenn Sie das Quadrat vervollständigen?

Wenn M = 3 X 2 − 8 X j + 9 j 2 − 4 X + 6 j + 13 , Wo X , j ∈ R , Dann M muss sein:

a) positiv b) negativ C) 0 d) eine ganze Zahl

Ich habe es irgendwie geschafft, das Quadrat zu vervollständigen, aber dafür habe ich viel Zeit gebraucht, und ich bin mir nicht sicher, ob ich jedes Mal solche Probleme lösen könnte.

Dieser ganze Ausdruck kann geschrieben werden als:

2 ( X − 2 j ) 2 + ( X − 2 ) 2 + ( j + 3 ) 2
was impliziert M ist positiv.

Mein Punkt ist, manchmal habe ich Glück und ich könnte sie in Quadraten gruppieren, aber manchmal nicht. Gibt es eine bestimmte Technik/Methode, die immer funktioniert?

Zweitens möchte ich auch wissen, was ihr beim Ausfüllen der Quadrate beobachtet?

Meiner Meinung nach ist der Schlüsselbegriff, auf den man sich zuerst konzentrieren muss, der 8 X j Begriff. Dies liegt daran, dass es überall sonst Spielraum zu geben scheint, um das Anheben / Absenken der X 2 oder j 2 Bedingungen. So sollte der 1. Versuch sein ( A X + B j ) 2 Wo 2 A B = 8. Versuchen Sie dann, alles daran anzupassen.
Während Sie auf jeden Fall Ihre Fähigkeit festigen sollten, einen Ansatz für die harte Mathematik zu wählen, gibt es einen parallelen Teil jedes mathematischen Problems (insbesondere wenn es mit Einheiten in einem realen Szenario angewendet wird), der diese Frage vollständig beantworten würde. Sie sollten immer fragen Ist meine Antwort sinnvoll? und das bedeutet oft, eine ungefähre Vorstellung von Pos/Neg und/oder Größenordnung im Kopf zu haben. Verwenden Sie es, um alle Berechnungen zu validieren. In diesem Fall machen die Optionen c und d keinen Sinn ( x=0.123, y=0.357). Plus c kann ohne d nicht wahr sein. Dann einstecken y=1, x=1und fertig 3 - 8 + 9 - 4 + 6 + 13 -> positive.

Antworten (1)

Ohne das Quadrat zu vervollständigen, können Sie auch die folgende Technik anwenden:

3 X 2 − 4 X ( 2 j + 1 ) + ( 9 j 2 + 6 j + 13 − M ) = 0 ⟹ Δ X = 4 ( 2 j + 1 ) 2 − 3 ( 9 j 2 + 6 j + 13 − M ) ≥ 0 ⟹ 3 M ≥ 11 j 2 + 2 j + 35 ⟹ 3 M ≥ 11 ( j + 1 11 ) 2 + 384 11 ⟹ 3 M ≥ 384 11 ⟹ M ≥ 128 11 > 0.

Ah schön, Δ X ist die Diskriminante des quadratischen in X . Gute Idee
Da Sie Δ(x) ≥ 0 verwendet haben, wie können Sie sicher behaupten, dass Wurzeln dieses Quadrats in x immer reell sind?
@Navdeep Wenn die Diskriminante von quadratisch nicht negativ ist, sind die Wurzeln immer reell. Das ist die grundlegende Tatsache über die Quadratik.
Ich kenne diese Tatsache, aber woher wissen Sie, dass Wurzeln (in diesem Fall) nicht imaginär sein können?
@Navdeep Um das Polynom zu optimieren, werden die Wurzeln als reell betrachtet. Wenn wir über komplexe Zahlen sprechen, dann M = 0 kann sein und M > 0 kann auch sein. Es kann sein M < 0 zu. Damit verliert deine Frage ihren Sinn. Beachten Sie, dass Sie beim Vervollständigen des Quadrats davon ausgegangen sind X , j waren echt. Daher würde ich empfehlen, das zu Ihrer Frage hinzuzufügen X Und j sind reelle Zahlen. Andernfalls kann das Polynom nicht optimiert werden.
@NavdeepSingh - Die Annahme des Problems ist, dass es reelle Zahlen gibt X , j so dass die ursprüngliche Gleichung wahr ist. Dieser Wert von X ist eine reelle Wurzel des Quadrats, also hat das Quadrat mindestens eine reelle Wurzel.
@lonestudent Ich habe Ihre Technik ausprobiert, um den Mindestwert dieses Ausdrucks zu finden: b² + 4c² - 4bc + 8b - 16c Als ich quadratisch in 'b' schrieb und nach Δ≥0 löste, bekam ich 4 ≥ 0, als ich quadratisch in 'c' schrieb ' und nach Δ≥0 aufgelöst, habe ich 16 ≥ 0 bekommen, was nichts ergibt. Was soll ich machen?
Wie gehen Sie vor, wenn Sie das Quadrat vervollständigen?
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