Bedingung für eine gemeinsame Wurzel in zwei gegebenen quadratischen Gleichungen

Wenn A , B , C in geometrischer Progression sind, dann die Gleichungen A X 2 + 2 B X + C = 0 Und D X 2 + 2 e X + F = 0 eine gemeinsame Wurzel haben, wenn D A , e B , F C sind in:

  1. Arithmetische Progression
  2. Geometrische Progression
  3. Harmonischer Verlauf

Betrachtet man die erste Gleichung als A 1 X 2 + B 1 X + C 1 = 0 und die zweite als A 2 X 2 + B 2 X + C 2 = 0 , habe ich die Bedingung für die gemeinsame Wurzel zweier quadratischer Gleichungen angewendet, also

( A 1 B 2 − B 1 A 2 ) ( B 1 C 2 − C 1 B 2 ) = ( C 1 A 2 − A 1 C 2 ) 2
Es ergibt jedoch eine große Gleichung in Bezug auf die Konstanten und führt mich nicht annähernd dazu, die Beziehung zu finden.

Antworten (6)

Hinweis: Sie haben die Informationen nicht verwendet A , B , C sind in geometrischer Progression. Du kannst schreiben B = A R , C = A R 2 und stecken Sie das in Ihre Bedingung, was es vereinfacht. Sie können auch einstellen A = 1 , was einer Division der ursprünglichen Gleichung durch entspricht A -Wenn es Null ist, ist Ihre Gleichung gerecht 0 = 0 Sie können den Ausdruck jeder Progression in die zweite Gleichung einfügen

Wenn Sie weiter lösen X 2 + R X + R 2 = 0 , stellen Sie fest, dass die Wurzeln proportional zu sind R - Die geometrische Progression funktioniert also eindeutig nicht, da dies besagt, dass die beiden Verhältnisse unterschiedlich sind.

Für zwei quadratische Gleichungen gilt: { A 0 X 2 + B 0 X + C 0 = 0 A 1 X 2 + B 1 X + C 1 = 0 , wenn die folgende Determinante
| A 0 B 0 C 0 0 0 A 0 B 0 C 0 A 1 B 1 C 1 0 0 A 1 B 1 C 1 |
verschwindet, dann gibt es tatsächlich eine gemeinsame Wurzel für die beiden.

HINWEIS:

Lassen

C B = B A = R ≠ 0 ⟹ B = A R , C = A R 2

So, A X 2 + 2 B X + C = 0 ⟹ A ( X 2 + 2 R X + R 2 ) = 0 ⟹ X = − R

⟹ D ( − R ) 2 + 2 e ( − R ) + F = 0 ⟹ R = e ± e 2 − D F D

Ein kürzerer Ansatz wäre zu teilen D R 2 − 2 e R + F von A R 2 .

Beachten Sie, dass die Diskriminante der ersten Gleichung ist B 2 − 4 A C . Da a, b, c in GP sind, müssen wir haben

B 2 = A C
Und wir erhalten die Diskriminante des ersten Quadrats zu 0. Daher A X 2 + 2 B X + C = 0 hat gleiche Wurzeln. Und da laut der Frage, D X 2 + 2 e X + F = 0 eine gemeinsame Wurzel hat, bedeutet dies, dass beide Quadrate proportional zueinander sind.
D X 2 + 2 e X + F = k ( A X 2 + 2 B X + C )
Schließlich vergleichen wir die Koeffizienten, die wir erhalten, D = A k , 2 e = 2 B k Und F = C k und daher
D A = e B = F C = k
Dies ist die Schreibans

Hinweis :

Lassen A = R 2 C , B = R C . Die erste Gleichung ist

( R 2 X 2 + 2 R X + 1 ) C = ( R X + 1 ) 2 = 0.

Die Wurzel ist doppelt, X = − 1 R !

Dann

D R 2 − 2 e R + F = 0 ,
Und
C D A − 2 C e B + C F C = 0 ,
und wir haben eine arithmetische Progression.

Mit der Methode von Lab Bhattarcharjee,

D ( − R ) 2 + 2 e ( − R ) + F = 0
∴ D R 2 − 2 e R + F = 0
Durchgehend dividieren durch A R 2 , wir bekommen
D A − 2 e A R + F A R 2 = 0
∴ D A + F C = 2 e B
Daher, D A , e B , F C befinden sich in arithmetischer Progression.

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