Bedingung für Quartic-Quarzwurzeln, dass sie real sind und zwei zusammenfallen

Lassen$f(x)=x^2-2mx-4(m^2+1),g(x)=x^2-4x-2m(m^2+1)$.

Auch lassen$c\in\mathbb R$sei die doppelte Wurzel von$f(x)g(x)$.

Wir haben drei Fälle zu betrachten:

Fall 1 :$x=c$ist eine doppelte Wurzel von$f(x)$

Fall 2:$x=c$ist eine doppelte Wurzel von$g(x)$

Fall 3:$f(c)=g(c)=0$

• Fall 1: Wenn$x=c$ist eine doppelte Wurzel von$f(x)$, dann müssen wir haben$(-2m)^2-4\times 1\times (-4(m^2+1))=0$, aber solche gibt es nicht$m\in\mathbb R$.

• Fall 2: Wenn$x=c$ist eine doppelte Wurzel von$g(x)$, dann lösen$(-4)^2-4\times 1\times (-2m(m^2+1))=0$gibt$m=-1$. Dann haben wir$f(x)=(x+4)(x-2),g(x)=(x-2)^2$die unserer Bedingung nicht genügen.

• Fall 3: Wenn$f(c)=g(c)=0$, dann ab$0=f(c)-g(c)=-2(m-2)(c-m^2-1)$, wir haben$m=2$oder$c=m^2+1$. Wenn$m=2$, Dann$f(x)=g(x)$die unserer Bedingung nicht genügen. Wenn$c=m^2+1$, dann durch Vietas Formeln ,$x=-4$ist eine Wurzel von$f(x)$, So$f(-4)=0\implies m=-1,3$. Das sehen wir schon$m\not=-1$. Wenn$m=3$, dann haben wir$f(x)=(x-10)(x+4),g(x)=(x-10)(x+6)$die unsere Bedingung erfüllen.

Daher lautet die Antwort$\color{red}{m=3}$.