f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) sind monisch-kubische Polynome, mit f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Wenn fff die Wurzeln r+1r+1r+1 und r+7r+7r+7 hat und ggg die Wurzeln r+3r+3r+3 und r+9r+9r+9 hat, dann finde rrr.

Question

f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) sind monisch-kubische Polynome, mit f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Wenn fff die Wurzeln r+1r+1r+1 und r+7r+7r+7 hat und ggg die Wurzeln r+3r+3r+3 und r+9r+9r+9 hat, dann finde rrr.

Wurzeln
Kubik
Funktionen
Mathematik
Polynome
Algebra-Vorkalkül

MathematikMagier

Lassen $f(x)$ Und $g(x)$ zwei monic kubische Polynome sein, und lassen $r$ eine reelle Zahl sein. Zwei der Wurzeln von $f(x)$ Sind $r+1$ Und $r+7$ . Zwei der Wurzeln von $g(x)$ Sind $r + 3$ Und $r + 9,$ Und
$F (X) - G (X) = R$ $f(x) - g(x) = r$ für alle reellen Zahlen $x.$ Finden $r.$

Bisher habe ich

F (X) = (X - R - 1) (X - R - 7) (X - P)

$f(x)=(x-r-1)(x-r-7)(x-p)$ Und

G (X) = (X - R - 3) (X - R - 9) (X - Q) .

$g(x)=(x-r-3)(x-r-9)(x-q).$ Aus

f (x) - g (x) = r

$f(x)-g(x)=r$ , Ich weiß, dass sich ihre konstanten Begriffe um unterscheiden

r

$r$ . Ich habe die beiden Funktionen erweitert, aber es war zu kompliziert. Ich habe mich auch angeschlossen

x = r + 1, r + 7, r + 3, r + 9

$x=r+1,r+7,r+3,r+9$ hinein

f (x) - g (x) = r

$f(x)-g(x)=r$ , aber es hat nicht viel gebracht.

Vielen Dank im Voraus!!!!!

Antworten (4)

f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) sind monisch-kubische Polynome, mit f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Wenn fff die Wurzeln r+1r+1r+1 und r+7r+7r+7 hat und ggg die Wurzeln r+3r+3r+3 und r+9r+9r+9 hat, dann finde rrr.

Ewan Delanoy · Answer 1

Tipp: Wir haben $f(r+3)=r$ (warum?) und $p=\frac{9}{8}r + 3$ leicht folgt. Dann, $f(r+9)=r=-2r + 96$ . Können Sie von dort abschließen?

Jose Carlos Santos · Answer 2

Dein Ansatz ist in Ordnung. Beachten Sie, dass

\begin{matrix} F (X) - G (X) = \\ = (4 - P + Q) X^{2} + (2 R P + 8 P - 12 Q - 2 Q R - 4 R - 20) X - P R^{2} + Q R^{2} - 8 P R + 12 Q R - 7 P + 27 Q . \end{matrix}

$\begin{multline}f(x)-g(x)=\\=(4-p+q)x^2+(2 r p+8p-12 q-2 q r-4 r-20)x-p r^2+q r^2-8 p r+12 q r-7 p+27 q.\end{multline}$ So,

4 - p + q = 0

$4-p+q=0$ ; mit anderen Worten,

p = q + 4

$p=q+4$ . Ersetzen

p

$p$ mit

q + 4

$q+4$ im Koeffizienten von

x

$x$ In

f (x) - g (x)

$f(x)-g(x)$ , das verstehen wir

4 (3 - q + r) = 0

$4(3-q+r)=0$ ; mit anderen Worten,

q = r + 3

$q=r+3$ . Und wenn ersetzen

q

$q$ mit

r + 3

$r+3$ in der konstanten Laufzeit von

f (x) - g (x)

$f(x)-g(x)$ , wir bekommen

32

$32$ . Aber wir wollen, dass dies gleich ist

r

$r$ . Deshalb,

r = 32

$r=32$ .

boojum · Answer 3

Einige Eigenschaften dieser beiden Polynome sind zunächst erwähnenswert:

• Weil $\ f(x) \ = \ g(x) + r \ \ , \ \ r \$ real, die Kurven der beiden Funktionen schneiden sich nie ;

• aus dem gleichen Grund das Quadrat $\ (b) \$ und linear $\ (c) \$ Koeffizienten sind identisch ;

• aus den gegebenen Informationen über ihre jeweiligen Nullstellen bestimmen wir das $g(r + 1) \ = \ -r \ \ ,$ $g(r + 3) \ = \ 0 \ \ , \ \ g(r + 7) \ = \ -r \ \ , \ \ g(r + 9) \ = \ 0 \ \ .$

Wir werden auch Ihre Notation zum Schreiben verwenden $\ f(p) \ = \ 0 \ \ , \ \ g(q) \ = \ 0 \ \ .$ Da die Polynome drei reelle Nullstellen haben, haben ihre Kurven zwei relative Extrema (die kubische "S-Kurve"). Das sagt uns etwas Bedeutsames über die Nullen: „Verschiebung“ $\ g(x) \$ vertikal durch $\ r \$ verschiebt die Nullen von $\ g(x) \$ bei $\ (r + 3) \$ Und $\ (r + 9) \$ "nach links" zu den Nullen von $\ f(x) \$ bei $\ (r + 1) \$ Und $\ (r + 7) \ \ ,$ implizieren das $\ r \ > \ 0 \ \ .$ (Das relative Maximum bewegt sich weg von der $\ x-$ Achse und dem relativen Minimum zu ihr hin.) Die dritte Nullstelle dieser Polynome muss also zwischen den beiden anderen liegen $\ ( \ r + 1 \ \le \ p \ \le \ r + 7 \ \ , \ \ r + 3 \ \le \ q \ \le \ r + 9 \ ) \ \$ Und $\ q \$ sollte sich "nach rechts bewegen". $\ p \ \ .$ Diese letzte Aussage wird durch die Viete-Beziehungen bestätigt: Der quadratische Koeffizient ist

B = - [(R + 1) + P + (R + 7)] = - [(R + 3) + Q + (R + 9)]

$b \ \ = \ \ -[ \ (r + 1) \ + \ p \ + \ (r + 7) \ ] \ \ = \ \ -[ \ (r + 3) \ + \ q \ + \ (r + 9) \ ]$

\Rightarrow 2 R + P + 8 = 2 R + Q + 12 \Rightarrow P = Q + 4 .

$\Rightarrow \ \ 2r \ + \ p \ + \ 8 \ \ = \ \ 2r \ + \ q \ + \ 12 \ \ \Rightarrow \ \ p \ = \ q + 4 \ \ .$

Für das Folgende werden wir die gegebenen Nullen in Bezug auf umbenennen $\ \rho \ = \ (r + 3) \ \ . \$ Der lineare Koeffizient dieser Polynome ist dann

C = (ρ - 2) \cdot (Q + 4) + (ρ + 4) \cdot (Q + 4) + (ρ - 2) \cdot (ρ + 4)

$c \ \ = \ \ (\rho - 2)·(q + 4) \ + \ (\rho + 4)·(q + 4) \ + \ (\rho - 2)·(\rho + 4)$

= ρ \cdot Q + (ρ + 6) \cdot Q + ρ \cdot (ρ + 6)

$= \ \ \rho · q \ + \ (\rho + 6) · q \ + \ \rho · (\rho + 6)$

\Rightarrow ρ^{2} + 2 \cdot Q \cdot ρ + 10 \cdot ρ + 2 \cdot Q = ρ^{2} + 2 \cdot Q \cdot ρ + 6 \cdot ρ + 6 \cdot Q \Rightarrow ρ = Q .

$\Rightarrow \ \ \rho^2 \ + \ 2·q·\rho \ + \ 10·\rho \ + \ 2·q \ \ = \ \ \rho^2 \ + \ 2·q·\rho \ + \ 6·\rho \ + \ 6·q \ \ \Rightarrow \ \ \rho \ \ = \ \ q \ \ .$ Also entdecken wir das

q = (r + 3)

$\ q \ = \ (r + 3) \$ ist in der Tat eine doppelte Null von

g (x) .

$\ g(x) \ \ .$ Das wiederum finden wir

p = q + 4 = (r + 3) + 4 = (r + 7)

$\ p \ = \ q + 4 \ = \ (r + 3) + 4 \ = \ (r + 7) \$ ist eine doppelte Null von

f (x) .

$\ f(x) \ \ .$

Wenn wir benennen $\ d \$ als "konstante Laufzeit" von $\ g(x) \ \ , \$ wir finden

D = - (R + 3)^{2} \cdot (R + 9) \Rightarrow D + R = R - (R + 3)^{2} \cdot (R + 9) = - (R + 1) \cdot (R + 7)^{2}

$d \ = \ -(r + 3)^2·(r + 9) \ \ \Rightarrow \ \ d \ + \ r \ = \ r \ - \ (r + 3)^2·(r + 9) \ \ = \ \ -(r + 1)·(r + 7)^2$

\Rightarrow - R^{3} - 15 R^{2} - 62 R - 81 = - R^{3} - 15 R^{2} - 63 R - 49 \Rightarrow R = 32 .

$\Rightarrow \ \ -r^3 \ - \ 15r^2 \ - \ 62r \ - \ 81 \ \ = \ \ -r^3 \ - \ 15r^2 \ - \ 63r \ - \ 49 \ \ \Rightarrow \ \ r \ = \ 32 \ \ .$

Unsere Polynome sind daher

G (X) = (X - 35)^{2} \cdot (X - 41) = X^{3} - 111 X^{2} + 4095 X - 50225 Und

$g(x) \ \ = \ \ (x - 35)^2 \ · \ (x - 41) \ \ = \ \ x^3 \ - \ 111x^2 \ + \ 4095x \ - \ 50225 \ \ \ \text{and}$

F (X) = (X - 33) \cdot (X - 39)^{2} = X^{3} - 111 X^{2} + 4095 X - 50193 = G (X) + 32 .

$f(x) \ \ = \ \ (x - 33) \ · \ (x - 39)^2 \ \ = \ \ x^3 \ - \ 111x^2 \ + \ 4095x \ - \ 50193 \ \ = \ \ g(x) \ + \ 32 \ \ .$ [Die relativen Extrema von

g (x)

$\ g(x) \$ befinden sich bei

(35, 0)

$\ (35 \ , \ 0) \$ Und

(39, - 32),

$\ (39 \ , \ -32) \ \ ,$ während die von

f (x)

$\ f(x) \$ Sind

(35, 32)

$\ (35 \ , \ 32) \$ Und

(39, 0) .]

$\ (39 \ , \ 0) \ \ . \ ]$

Übrigens gibt es ein komplementäres Paar von Polynomen für $\ r \ = \ -32 \ \ :$

G (X) = (X + 25)^{2} \cdot (X + 31) = X^{3} + 81 X^{2} + 2175 X + 19375 Und

$g(x) \ \ = \ \ (x + 25)^2 \ · \ (x + 31) \ \ = \ \ x^3 \ + \ 81x^2 \ + \ 2175x \ + \ 19375 \ \ \ \text{and}$

F (X) = (X + 23) \cdot (X + 29)^{2} = X^{3} + 81 X^{2} + 2175 X + 19343 = G (X) - 32 .

$f(x) \ \ = \ \ (x + 23) \ · \ (x + 29)^2 \ \ = \ \ x^3 \ + \ 81x^2 \ + \ 2175x \ + \ 19343 \ \ = \ \ g(x) \ - \ 32 \ \ .$

Dan · Answer 4

Lassen $\alpha$ , $\beta$ , Und $\gamma$ die Wurzeln eines monischen kubischen Polynoms sein $p$ . Dann:

P (X) = (X - a) (X - β) (X - γ)

$p(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$

= X^{3} - (a + β + γ) X^{2} + (a β + a γ + β γ) X - a β γ

$= x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x - \alpha\beta\gamma$

Abgleich der Koeffizienten mit der allgemeinen Kubik $x^3 + bx^2 + cx + d$ (Ich verzichte $a$ weil wir gegeben sind, dass es 1) gibt:

a + β + γ = - B

$\alpha + \beta + \gamma = -b$

a β + a γ + β γ = C

$\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = c$

a β γ = - D

$\alpha\beta\gamma = -d$

Diese Gleichungen werden Vieta-Formeln genannt .

Betrachten wir nun zwei Polynome, die einfache horizontale Verschiebungen der gegebenen sind:

F_{R} (X) = F (X - R) : a = 1, β = 7, γ = S

$f_r(x) = f(x-r): \alpha = 1, \beta = 7, \gamma = s$

G_{R} (X) = G (X - R) : a = 3, β = 9, γ = T

$g_r(x) = g(x-r): \alpha = 3, \beta = 9, \gamma = t$

Da sie sich nur durch eine Konstante ( $r$ ), sie müssen das gleiche haben $b$ Und $c$ Koeffizienten und haben $d$ unterscheiden sich durch $r$ . So,

1 + 7 + S = 3 + 9 + T

$1 + 7 + s = 3 + 9 + t$

7 + S + 7 S = 27 + 3 T + 9 T

$7 + s + 7s = 27 + 3t + 9t$

- 7 S + 27 T = R

$-7s + 27t = r$

Oder etwas umgestellt:

\begin{matrix} (1) & S - T = 4 \end{matrix}

$s - t = 4\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & 8 S - 12 T = 20 \end{matrix}

$8s - 12t = 20\tag{2}$

\begin{matrix} (3) & R + 7 S - 27 T = 0 \end{matrix}

$r + 7s - 27t = 0\tag{3}$

Ein einfaches lineares Gleichungssystem, nach dem gelöst werden kann $r$ , $s$ , Und $t$ . Von (1), $s = t + 4$ . Einsetzen in (2) ergibt:

8 (T + 4) - 12 T = 20

$8(t + 4) - 12t = 20$

8 T + 32 - 12 T = 20

$8t + 32 - 12t = 20$

- 4 T = - 12

$-4t = -12$

T = 3

$t = 3$

S = T + 4 = 7

$s = t + 4 = 7$

Durch Einsetzen in (3) erhält man schließlich:

R + 7 (7) - 27 (3) = 0

$r + 7(7) - 27(3) = 0$

R + 49 - 81 = 0

$r + 49 - 81 = 0$

R = 32

$r = 32$

f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) sind monisch-kubische Polynome, mit f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Wenn fff die Wurzeln r+1r+1r+1 und r+7r+7r+7 hat und ggg die Wurzeln r+3r+3r+3 und r+9r+9r+9 hat, dann finde rrr.

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