Finden der Diskriminante und Wurzeln eines Polynoms

Question

Finden der Diskriminante und Wurzeln eines Polynoms

Wurzeln
Quadratik
Mathematik
Polynome
Algebra-Vorkalkül

Emi Matro

Wie wird die Diskriminante eines Polynoms bestimmt? Ich weiß, dass für eine quadratische Funktion die Wurzeln (wobei $f(x)=0$ ) werden gefunden von

X = \frac{- B \pm \sqrt{Δ}}{2 A}

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
und hier

Δ

$\Delta$ ist die Diskriminante. Die Diskriminante definiert die Art der Wurzeln (ob sie real oder komplex sind, je nachdem, ob

Δ > 0

$\Delta>0$ oder

Δ < 0

$\Delta<0$ ).

Wie bestimmt man die Diskriminante eines kubischen Polynoms und höherer Polynome?
In Bezug auf quadratische Polynome:

X = \frac{- B \pm \sqrt{Δ}}{2 A}

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ wird gefunden, indem das Quadrat vervollständigt wird, was für alle quadratischen Polynome durchgeführt werden kann, und dann wird diese Formel angewendet, um die Wurzeln zu finden.
Aber für kubische Polynome, quadratische Polynome, Grad

7

$7$ Polynome, etc, ..., wie finden Sie die Wurzeln? (Und wie bestimmt man die Diskriminante?)

Wenn Sie ein kubisches Polynom haben, können Sie es manchmal faktorisieren und es zu einem quadratischen Polynom machen, das mit einem anderen Term multipliziert wird:

9 T^{3} - 18 T^{2} + 6 = 3 T (3 T^{2} - 6 T + 2)

$9t^3-18t^2+6= 3t(3t^2-6t+2)$ aber es gibt Fälle, in denen Sie es nicht so vereinfachen können, oder?

Ich bin also nur neugierig, wie man die Wurzeln / Diskriminanten in Polynomen höheren Grades findet.

abiesu

Es gibt explizite Methoden für Polynome bis Grad

4

$4$ . Danach haben alle Polynome höheren Grades nur Formeln für bestimmte Formen. Der fundamentale Satz, der sich mit Polynomen befasst, garantiert Wurzeln über die komplexen Zahlen hinweg, aber es gibt keine Garantie dafür, dass sie leicht zu finden sind. Schlage die Ergebnisse nach Galois nach und wie man die Wurzeln eines Polynoms als eine Menge zusammen betrachtet.

Darij Grinberg

Der Kommentar von @abiessu gilt nur für die Wurzeln, nicht für die Diskriminante. Letzteres kann immer explizit berechnet werden.

Antworten (2)

Finden der Diskriminante und Wurzeln eines Polynoms

Es gibt explizite Methoden für Polynome bis Grad $4$ . Danach haben alle Polynome höheren Grades nur Formeln für bestimmte Formen. Der fundamentale Satz, der sich mit Polynomen befasst, garantiert Wurzeln über die komplexen Zahlen hinweg, aber es gibt keine Garantie dafür, dass sie leicht zu finden sind. Schlage die Ergebnisse nach Galois nach und wie man die Wurzeln eines Polynoms als eine Menge zusammen betrachtet.
Der Kommentar von @abiessu gilt nur für die Wurzeln, nicht für die Diskriminante. Letzteres kann immer explizit berechnet werden.

Albert van der Horst · Answer 1

Wenn ein Polynom numerisch gegeben ist, (Koeffizienten $a_0..a_n$ gegeben sind), kann das resultierende Verfahren verwendet werden, um zu einem numerischen Wert der Diskriminante zu gelangen. Die Koeffizienten des Polynoms und seiner Ableitung werden in eine (n+2)-Quadrat- Sylvester-Matrix eingesetzt . Dann ist die Determinante die gesuchte Diskriminante. Wo das Ausschreiben der Diskriminante einer Matrix mit Symbolen unerschwinglich ist, kann die Diskriminante schnell numerisch unter Verwendung vorhandener Matrixpakete in berechnet werden $O(N^3)$ Zeit.

Es ist sehr schön erklärt in

http://www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdf

Dies ist Beispiel 4.7

Wenn $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ , dann ergibt Satz 3.3

\begin{aligned} \begin{array}{ccccccc} A & B & C & D & e & 0 & 0 \\ 0 & A & B & C & D & e & 0 \\ 0 & 0 & A & B & C & D & e \\ 4 A & 3 B & 2 C & D & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 A & 3 B & 2 C & D & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 A & 3 B & 2 C & D & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 A & 3 B & 2 C & D \end{array} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{array}{| ccccccc |} & a & b & c & d & e & 0 & 0 &\\ & 0 & a & b & c & d & e & 0 \\ & 0 & 0 & a & b & c & d & e \\ & 4a& 3b& 2c& d & 0 & 0 & 0 \\ & 0 & 4a& 3b& 2c& d& 0 & 0 \\ & 0 & 0 & 4a& 3b& 2c& d & 0 \\ & 0 & 0 & 0 & 4a& 3b& 2c& d \\ \end{array} \end{align}$

= $b^2c^2d^2 - 4b^2c^3 e - 4b^3d^3 + 18b^3cde - 27b^4e^2 - 4ac^3d^2 + 16ac^4e + 18abcd^3 - 80abc^2de - 6ab^2d^2e + 144ab^2ce^2 - 27a^2d^4 + 144a^2cd^2e - 128a^2c^2e^2 - 192a^2bde^2 + 256a^3e^3$

Hagen von Eitzen · Answer 2

Wenn $x_1, \ldots, x_n$ sind die Nullstellen eines Polynoms $f$ , dh $f(x)=(x-x_1)\cdots (x-x_n)$ , dann die Diskriminante von $f$ ist definiert als $\Delta=\prod_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)$ . Dann $\Delta^2$ ist ein Ausdruck, der in der symmetrisch ist $x_i$ , kann daher unter Verwendung der elementaren symmetrischen Polynome ausgedrückt werden , die die Koeffizienten von sind $f$ . Während $\Delta$ sagt uns etwas über das Verhalten der Wurzeln (insbesondere $\Delta=0$ falls es mehrere Nullstellen gibt), ist dies für höhere Polynomgrade noch nicht das Ende der Geschichte. Wie in dem Kommentar von Abiessu angedeutet wurde, zeigt die Galois-Theorie, dass es keine allgemeine Methode gibt, die Radikale verwendet, um Grad fünf und höher zu lösen.

Finden der Diskriminante und Wurzeln eines Polynoms

Emi Matro

abiesu

Darij Grinberg

Antworten (2)

Albert van der Horst

Hagen von Eitzen

Bedingung für Quartic-Quarzwurzeln, dass sie real sind und zwei zusammenfallen

Wie gehen Sie vor, wenn Sie das Quadrat vervollständigen?

f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) sind monisch-kubische Polynome, mit f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Wenn fff die Wurzeln r+1r+1r+1 und r+7r+7r+7 hat und ggg die Wurzeln r+3r+3r+3 und r+9r+9r+9 hat, dann finde rrr.

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