Gemeinsame Wurzelfrage zu quadratischen Gleichungen, um zu zeigen, dass a+b+c=0a+b+c=0a+b+c=0

Es ist falsch.

Versuchen$b=c=0$Und$a=1$.

Dein Problem ist FALSCH.

Lassen$a=2,b=0,c=2$, Dann$f(x)=2x^2-2, g(x)=2x^2+2x$. Es ist klar, dass$-1$ist die gemeinsame Wurzel, aber$a+b+c=4\neq 0$.

HINWEIS:

Vietas Formeln.

Lassen Sie die Wurzeln von$f$Sei$p$Und$q$. Lassen Sie die Wurzeln von$g$Sei$p$Und$r$.

Dann

$$p+q=-\frac ba,\quad pq=-\frac ca$$ Und $$p+r=-\frac ca,\quad pr=\frac ba$$

Gegenbeispiel:$a=c, b=0$. Das ist:

$$f(x)=ax^2+bx-c=ax^2-a=0 \Rightarrow x=\pm 1;\\ g(x)=ax^2+cx+b=ax^2+ax=0 \Rightarrow x=-1;0.$$

Rückwärtsprüfung: if$c=-(a+b)$, Dann:

$$f(x)= ax^2+bx-c=0 \iff ax^2+bx+a+b=0 \ \ \ \ \ \ (1) \\ g(x)=ax^2+cx+b=0 \iff ax^2-ax-bx+b=0 \iff (x-1)(ax+a-b)=0 \ \ \ \ (2)$$ Dann ab $(2)$: $$x-1=0 \stackrel{(1)}{\Rightarrow} a=-b.\\ ax+a-b=0 \Rightarrow x=\frac{b-a}{a} \Rightarrow a\frac{(b-a)^2}{a^2}+b\frac{b-a}{a}+a+b=0 \Rightarrow a^2+b^2=ab.$$

Analyse :

Wenn$f,g$dieselbe Wurzel hat, dann ist es auch eine Wurzel von$f-g$. Seit

$$f(x) - g(x) = (b-c)x -(b+c),$$ dann sollte gemeinsame Wurzel sein $$r = \frac {b+c} {b-c} \quad [b \neq c].$$ Schließen Sie diese an $f(x)$: $$a (b+c)^2 + b (b+c)(b-c) - c(b-c)^2 =0,$$ welches ist $$a(b+c)^2 + b^3 -c^3 +bc^2 -cb^2 =0.$$ Somit $$a + b + c = \frac 1 {(b+c)^2} (2c^3 + 4b^2c + 2bc^2) = \frac {2c} {(b+c)^2} (c^2 + 2b^2 + bc).$$ Wenn $c = 0$, und wenn $b\neq 0$, Dann $a+b + c = 0$. Wenn $c \neq 0$Und $b +c \neq 0$, Dann $$|a +b +c| = \frac {2|c|} {(b+c)^2} \left( \left( c+\frac b2\right)^2 +\frac 74 b^2\right) > 0.$$ Jetzt ein Gegenbeispiel: nehmen $b=0$, Dann $a = c$. Wählen $a =c =1$, Dann $$f(x) = x^2 - 1= (x+1)(x-1),\quad g(x)= x^2+x =x(x+1),$$ offensichtlich haben sie eine gemeinsame Wurzel $-1$Aber $a+b+c = g(1)=2\neq 0$.

Fazit: Eine solche Behauptung schlägt fehl.

Tipp: Die Wurzeln von$f$Sind$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$. (Warum? Was ist mit dem Minuszeichen in der quadratischen Formel passiert?)

Was sind die Wurzeln von$g$?

Nehmen wir nun an, dass die erste Wurzel von$f$gleich der ersten Wurzel von$g$, und drei weitere Fälle.

(Ja, das ist eine sehr einfache Herangehensweise an dieses Problem, aber es bringt Sie dorthin.)

Hinweis 2: Ein alternativer Ansatz ist, das zu sagen

$$f(x) = a (x - u) (x - v)$$ für einige Zahlen $u$Und $v$(Die Wurzeln von $f$), Und $$g(x) = a(x-u) (x - w)$$

(Die$u$wird wiederholt, weil$f$Und$g$eine Wurzel teilen; das ist auch möglich$v = w$, aber keinesfalls erforderlich.)

Wenn Sie jetzt expandieren$f$, finden Sie eine Beziehung zwischen$b$Und$u, v$, und dazwischen$c$Und$u, v$; ähnlich für$g$. Sehen Sie, wohin Sie das führt.

$$f(x)=ax^2+bx-c$$ $$g(x)=ax^2+cx+b$$ für f(x) sind die Wurzeln gegeben durch: $$(1)\,x=\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a} \text{and}\, x=\frac{-b-\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$$ für g(x) sind die Wurzeln gegeben durch: $$(2)\,x=\frac{-c+\sqrt{c^2-4ab}}{2a} \text{and}\,x=\frac{-c-\sqrt{c^2-4ab}}{2a}$$ seit $2a$Ist es auf der Unterseite üblich, dass Sie diese entfernen könnten, dann machen Sie die beiden Seiten einander gleich?

Wenn$f(x)=ax^2+bx-c$Und$g(x)=ax^2+cx+b$eine gemeinsame Wurzel haben, zeigen Sie das$a+b+c=0$.

Die Aussage ist falsch, wie bereits in mehreren Antworten darauf hingewiesen wurde.

Das Problem hat jedoch höchstwahrscheinlich einen Tippfehler, und die folgende Aussage ist tatsächlich wahr:

Wenn$b \ne c$, Dann$f(x)=ax^2+bx \color{red}{+}c$Und$g(x)=ax^2+cx+b$eine gemeinsame Wurzel haben iff$a+b+c=0$.

Der Beweis folgt sofort durch Subtrahieren der beiden Gleichungen, was ergibt$\,(b-c)(x-1)=0\,$, also muss die gemeinsame Wurzel sein$\,x=1\,$.