Warum gibt das Lösen eines quadratischen Gleichungssystems zusätzliche Wurzeln?

Question

Warum gibt das Lösen eines quadratischen Gleichungssystems zusätzliche Wurzeln?

Quadratik
Mathematik
Algebra-Vorkalkül
Gleichungssysteme

Dheeraj Gujrathi

Betrachten Sie dieses Gleichungssystem

\begin{aligned} {\begin{cases} X^{2} + 4 X + 4 = 0 \\ X^{2} + 5 X + 6 = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{cases} x^2+4x+4=0\\\\ x^2+5x+6=0 \end{cases} \end{align*}$

Um sie zu lösen, haben wir

Methode 1-

Subtrahiere beide Gleichungen

So $-x-2=0$

Somit, $x=-2$

Methode-2

Addiere beide Gleichungen

$2x^2+9x+10=0$

Nach Anwendung der quadratischen Formel erhalten wir

$x=-2$ oder $x=-5/2$ . Aber nur $x=-2$ erfüllt das Gleichungssystem.

Warum ist der $-5/2$ das Gleichungssystem nicht erfüllt, was ist die Intuition hinter dem Fehler in Methode 2?

Sarvesh Ravichandran Iyer

Bearbeitet, um MathJax zu korrigieren, bitte beziehen Sie sich auf Korrekturen und passen Sie es in Zukunft an, Sie haben gerade etwas ganz Kleines verpasst, um fair zu sein. Zu deiner Frage: Wenn

a

$a$ ist eine Wurzel von

p (x)

$p(x)$ Und

q (x)

$q(x)$ dann ist es eine Wurzel von

(p - q) (x)

$(p-q)(x)$ ,

(p + q) (x)

$(p+q)(x)$ usw. Aber diese Polynome könnten andere Wurzeln haben, die nichts damit zu tun haben

p

$p$ oder

q

$q$ .

dxiv

Beide Methoden sind Einwegimplikationen, die nicht umkehrbar sind. Methode 1 bedeutet zum Beispiel, dass es eine gemeinsame Wurzel geben muss, wenn sie existiert

x = - 2

$x=-2$ , aber das beweist es nicht

x = - 2

$x=-2$ ist in der Tat eine Wurzel. Versuchen Sie Methode 1 auf das System anzuwenden

x + 3 = 0, 2 x + 1 = 0

$x+3=0, 2x+1=0$ Zum Beispiel.

Raymond Manzoni

Beide Methoden sind in Ordnung, aber um eine Äquivalenz zu erhalten, müssen Sie eine der Anfangsgleichungen oder eine andere Zusammensetzung davon beibehalten (die Differenz und die Summe beizubehalten ist in Ordnung, da Sie beide Anfangsgleichungen neu zusammensetzen könnten!)

Dheeraj Gujrathi

@Teresa Lisbon, was passiert eigentlich mit p (x) und q (x), wenn der Term x² aus beiden Gleichungen eliminiert wird und eine lineare Gleichung erhalten wird, warum bekommen wir von hier nicht 2 Ergebnisse, ich weiß das linear Gleichung kann nur eine Lösung haben, aber wo ist diese zusätzliche Wurzel geblieben?

Dheeraj Gujrathi

@dxiv, können Sie bitte erläutern, was es bedeutet, eine Einwegimplikation, ist diese Methode der Gauß-Eliminierung oder des Umgangs mit dem Gleichungssystem nicht immer korrekt? Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich es falsch verstehe

Sarvesh Ravichandran Iyer

@DheerajGujrathi Wenn du auftrittst

p (x) - q (x)

$p(x)-q(x)$ , es ist wahr, dass IF

a

$a$ ist eine gemeinsame Wurzel von

p (x)

$p(x)$ Und

q (x)

$q(x)$ , dann ist es auch eine Wurzel von

(p - q) (x)

$(p-q)(x)$ , und von

(p + q) (x)

$(p+q)(x)$ , und von

(2 p + 3 q) (x)

$(2p+3q)(x)$ usw. Aber das Gegenteil ist nicht der Fall: wenn ich jetzt irgendeine Wurzel schlage

(p - q) (x)

$(p-q)(x)$ , es ist nicht notwendig, dass es eine gemeinsame Wurzel von gewesen sein muss

p (x)

$p(x)$ Und

q (x)

$q(x)$ . Was ist der Grund? Nun, denken Sie an Zahlen:

1

$1$ ist kein Vielfaches von

3

$3$ Und

2

$2$ ist kein Vielfaches von

3

$3$ , Aber

1 + 2 = 3

$1+2 = 3$ ist ein Vielfaches von

3

$3$ . So

1 + 2

$1+2$ , oder

1 - 2

$1-2$ , kann nur eine multiplikative Eigenschaft teilen, die beide haben

1

$1$ Und

2

$2$ gemeinsam teilen

Sarvesh Ravichandran Iyer

Der Grund, warum dies für Zahlen gilt, ist, weil if

a

$a$ Und

b

$b$ zwei Zahlen sind, dann können wir nichts über die Teiler von sagen

a + b

$a+b$ sicher ist das IF

a, b

$a,b$ einen Teiler teilen, dann ist diese Zahl auch ein Teiler von

a + b

$a+b$ . ABER wir können Faktoren von nicht diskutieren

a + b

$a+b$ die kommen auch nicht

a

$a$ oder

b

$b$ (dazu muss man über Reste diskutieren, was aus dem vorliegenden Zusammenhang herausfällt).

Dheeraj Gujrathi

@TeresaLisbon, sollte dieser Kommentar sagen, dass Beispiel 4 und 2 betrachtet werden, sie teilen den gemeinsamen Faktor 2, also teilt 2 auch 4 + 2, dh 2 teilt auch 2 (2 + 1)? Korrigieren Sie mich, wenn ich damit nicht umgehe wie du es gesagt hast

Sarvesh Ravichandran Iyer

@DheerajGujrathi Genau: aber das kann man zum Beispiel nicht vorhersagen

4 + 2

$4+2$ ist ein Vielfaches von

3

$3$ , ohne zu teilen

4

$4$ von

2

$2$ , und dann

2

$2$ von

2

$2$ , und fügen Sie sie dann hinzu und prüfen Sie, ob es sich um ein Vielfaches von handelt

3

$3$ (oder den Rest nehmen, wenn

4

$4$ wird geteilt durch

3

$3$ , der Rest wann

2

$2$ wird geteilt durch

3

$3$ , und addieren sie). Mit anderen Worten, bis Sie weitere Nachforschungen anstellen, werden Sie das nicht wissen

3

$3$ hat irgendetwas mit multiplikativ zu tun

4 + 2

$4+2$ .

dxiv

@DheerajGujrathi Eine einseitige Implikation hat die Form

A ⟹ B

$A \implies B$ , im Gegensatz zu einer Äquivalenz

A ⟺ B

$A \iff B$ . Versuchen Sie erneut, Ihre Methode(n) auf das einfachere System anzuwenden

x + 3 = 0, 2 x + 1 = 0

$x+3=0, 2x+1=0$ und es wird deutlich, wo das Problem liegt. Sie können die Gleichungen subtrahieren und erhalten

- x + 2 = 0

$-x+2=0$ , aber das bedeutet nicht, dass Sie die Lösung gefunden haben

x = 2

$x=2$ . Das bedeutet, dass Sie das System auf ein anderes System aus zwei Gleichungen reduziert haben

x + 3 = 0, - x + 2 = 0

$x+3=0, -x+2=0$ (was zufällig keine Lösungen hat).

Dheeraj Gujrathi

@dxiv, vielen Dank, aufrichtig, ich war verwirrt in Bezug auf die Systeme, jetzt weiß ich, wann immer wir neue Gleichungen aus alten bilden, können wir nicht die einzige neue abgeleitete Gleichung berücksichtigen, um die Antwort zu erhalten, alle Gleichungen daher abgeleitet muss auch befriedigen, und für diese Fragen scheint es sehr intuitiv zu sein, wenn wir eine gemeinsame Lösung von x + 2 = 0 und 2x ^ 2 + 9x + 10 = 0 nehmen, danke, und auch, ist das richtig? Einweg-Implikation bedeutet das "wenn a b impliziert, dann impliziert b nicht unbedingt a"?

Antworten (4)

Warum gibt das Lösen eines quadratischen Gleichungssystems zusätzliche Wurzeln?

Bearbeitet, um MathJax zu korrigieren, bitte beziehen Sie sich auf Korrekturen und passen Sie es in Zukunft an, Sie haben gerade etwas ganz Kleines verpasst, um fair zu sein. Zu deiner Frage: Wenn $a$ ist eine Wurzel von $p(x)$ Und $q(x)$ dann ist es eine Wurzel von $(p-q)(x)$ , $(p+q)(x)$ usw. Aber diese Polynome könnten andere Wurzeln haben, die nichts damit zu tun haben $p$ oder $q$ .
Beide Methoden sind Einwegimplikationen, die nicht umkehrbar sind. Methode 1 bedeutet zum Beispiel, dass es eine gemeinsame Wurzel geben muss, wenn sie existiert $x=-2$ , aber das beweist es nicht $x=-2$ ist in der Tat eine Wurzel. Versuchen Sie Methode 1 auf das System anzuwenden $x+3=0, 2x+1=0$ Zum Beispiel.
Beide Methoden sind in Ordnung, aber um eine Äquivalenz zu erhalten, müssen Sie eine der Anfangsgleichungen oder eine andere Zusammensetzung davon beibehalten (die Differenz und die Summe beizubehalten ist in Ordnung, da Sie beide Anfangsgleichungen neu zusammensetzen könnten!)
@Teresa Lisbon, was passiert eigentlich mit p (x) und q (x), wenn der Term x² aus beiden Gleichungen eliminiert wird und eine lineare Gleichung erhalten wird, warum bekommen wir von hier nicht 2 Ergebnisse, ich weiß das linear Gleichung kann nur eine Lösung haben, aber wo ist diese zusätzliche Wurzel geblieben?
@dxiv, können Sie bitte erläutern, was es bedeutet, eine Einwegimplikation, ist diese Methode der Gauß-Eliminierung oder des Umgangs mit dem Gleichungssystem nicht immer korrekt? Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich es falsch verstehe
@DheerajGujrathi Wenn du auftrittst $p(x)-q(x)$ , es ist wahr, dass IF $a$ ist eine gemeinsame Wurzel von $p(x)$ Und $q(x)$ , dann ist es auch eine Wurzel von $(p-q)(x)$ , und von $(p+q)(x)$ , und von $(2p+3q)(x)$ usw. Aber das Gegenteil ist nicht der Fall: wenn ich jetzt irgendeine Wurzel schlage $(p-q)(x)$ , es ist nicht notwendig, dass es eine gemeinsame Wurzel von gewesen sein muss $p(x)$ Und $q(x)$ . Was ist der Grund? Nun, denken Sie an Zahlen: $1$ ist kein Vielfaches von $3$ Und $2$ ist kein Vielfaches von $3$ , Aber $1+2 = 3$ ist ein Vielfaches von $3$ . So $1+2$ , oder $1-2$ , kann nur eine multiplikative Eigenschaft teilen, die beide haben $1$ Und $2$ gemeinsam teilen
Der Grund, warum dies für Zahlen gilt, ist, weil if $a$ Und $b$ zwei Zahlen sind, dann können wir nichts über die Teiler von sagen $a+b$ sicher ist das IF $a,b$ einen Teiler teilen, dann ist diese Zahl auch ein Teiler von $a+b$ . ABER wir können Faktoren von nicht diskutieren $a+b$ die kommen auch nicht $a$ oder $b$ (dazu muss man über Reste diskutieren, was aus dem vorliegenden Zusammenhang herausfällt).
@TeresaLisbon, sollte dieser Kommentar sagen, dass Beispiel 4 und 2 betrachtet werden, sie teilen den gemeinsamen Faktor 2, also teilt 2 auch 4 + 2, dh 2 teilt auch 2 (2 + 1)? Korrigieren Sie mich, wenn ich damit nicht umgehe wie du es gesagt hast
@DheerajGujrathi Genau: aber das kann man zum Beispiel nicht vorhersagen $4+2$ ist ein Vielfaches von $3$ , ohne zu teilen $4$ von $2$ , und dann $2$ von $2$ , und fügen Sie sie dann hinzu und prüfen Sie, ob es sich um ein Vielfaches von handelt $3$ (oder den Rest nehmen, wenn $4$ wird geteilt durch $3$ , der Rest wann $2$ wird geteilt durch $3$ , und addieren sie). Mit anderen Worten, bis Sie weitere Nachforschungen anstellen, werden Sie das nicht wissen $3$ hat irgendetwas mit multiplikativ zu tun $4+2$ .
@DheerajGujrathi Eine einseitige Implikation hat die Form $A \implies B$ , im Gegensatz zu einer Äquivalenz $A \iff B$ . Versuchen Sie erneut, Ihre Methode(n) auf das einfachere System anzuwenden $x+3=0, 2x+1=0$ und es wird deutlich, wo das Problem liegt. Sie können die Gleichungen subtrahieren und erhalten $-x+2=0$ , aber das bedeutet nicht, dass Sie die Lösung gefunden haben $x=2$ . Das bedeutet, dass Sie das System auf ein anderes System aus zwei Gleichungen reduziert haben $x+3=0, -x+2=0$ (was zufällig keine Lösungen hat).
@dxiv, vielen Dank, aufrichtig, ich war verwirrt in Bezug auf die Systeme, jetzt weiß ich, wann immer wir neue Gleichungen aus alten bilden, können wir nicht die einzige neue abgeleitete Gleichung berücksichtigen, um die Antwort zu erhalten, alle Gleichungen daher abgeleitet muss auch befriedigen, und für diese Fragen scheint es sehr intuitiv zu sein, wenn wir eine gemeinsame Lösung von x + 2 = 0 und 2x ^ 2 + 9x + 10 = 0 nehmen, danke, und auch, ist das richtig? Einweg-Implikation bedeutet das "wenn a b impliziert, dann impliziert b nicht unbedingt a"?

Benutzer0102 · Answer 1

HINWEIS

Sie können beide Polynome gemäß Ihrer bevorzugten Methode faktorisieren, um Folgendes zu erhalten:

\begin{aligned} {\begin{cases} X^{2} + 4 X + 4 = 0 \\ X^{2} + 5 X + 6 = 0 \end{cases} ⟺ {\begin{cases} (X + 2)^{2} = 0 \\ (X + 2) (X + 3) = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{cases} x^{2} + 4x + 4 = 0\\\\ x^{2} + 5x + 6 = 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} (x+2)^{2} = 0\\\\ (x+2)(x+3) = 0 \end{cases} \end{align*}$

Kannst du es von hier nehmen?

,ja, kann ich, danke, aber noch eine Frage, was wäre, wenn es statt 4x ax geschrieben wäre und uns gesagt würde, wir sollen ein finden, dass beide Polynome einen gemeinsamen Faktor haben? Wir können sie nicht ausklammern?
Wenn Sie einen unbekannten Parameter hatten $a$ , könnten Sie die entsprechende quadratische Gleichung lösen und die Wurzeln mit denen der zweiten Gleichung vergleichen. Auf diese Weise könnten Sie seinen Wert finden.

Hühnermann · Answer 2

Um deine Titelfrage zu beantworten:

Warum gibt das Lösen eines quadratischen Gleichungssystems zusätzliche Wurzeln?

Dies liegt daran, dass jede quadratische Gleichung höchstens zwei Lösungen haben kann, sodass ein System quadratischer Gleichungen höchstens zwei Lösungen zwischen den beiden quadratischen Gleichungen gemeinsam haben kann.

Insbesondere haben Sie zwei quadratische Gleichungen, und sie teilen sich eine Lösung bis zur Multiplizität, und Sie haben also 3 fremde Wurzeln.

Wenn sie mehr als eine Lösung gemeinsam haben, wären sie notwendigerweise skalare Vielfache voneinander.

Benutzer876009 · Answer 3

$x^2+4x+4=0 \implies (x+2)^2=0$ Zerlegen Sie auf ähnliche Weise das andere Polynom und sehen Sie, welchen Wert es hat $x$ ist bei ihnen üblich

Für einen anderen Teil der Frage hat Ihre Methode nicht die richtige Antwort gegeben, weil Sie sich daran erinnern müssen $(a-b)x,(a+b)x$ kann andere Wurzeln haben als $a$ Und $b$

boojum · Answer 4

So könnten wir auch den Unterschied zwischen Ihren beiden Ansätzen beschreiben. Sie haben mit dem System angefangen $\ p(x) \ = \ x^2 + 4x + 4 \ = \ 0 \ , \ q(x) \ = \ x^2 + 5x + 6 \ = \ 0 \ \ .$ Wenn Sie eine Gleichung von der anderen subtrahieren, haben Sie $\ p(x) - q(x) \ = \ 0 \ \ ,$ was der Gleichung entspricht, die wir aufstellen würden, um Schnittpunkte der durch diese Funktionen dargestellten Kurven zu finden, $\ p(x) \ = \ q(x) \ \ .$ Sie haben die einzige Lösung gefunden $\ x \ = \ -2 \ \$ aus $\ -x - 2 \ = \ 0 \ \ ,$ welches ist richtig. So kommt es für dieses System vor, dass dieses auch einen gemeinsamen Faktor ausfindig macht $\ p(x) \$ Und $\ q(x) \$ weil beide Funktionen bei gleich Null sind $\ x \ = \ -2 \ \ ,$ aber diese Methode wäre in jedem Fall richtig (wie wir in Kürze für ein anderes System zeigen werden).

Wenn Sie die beiden Gleichungen addieren , wie Sie es in Ihrer zweiten Berechnung getan haben, lösen Sie jetzt $\ p(x) + q(x) \ = \ 0 \ \rightarrow \ p(x) \ = \ -q(x) \ \ ,$ das ist nicht mehr das ursprüngliche Problem. Hier geht es wirklich nur darum, beides $\ p(x) \$ Und $\ q(x) \$ bei gleich Null sind $\ x \ = \ -2 \$ dass dies als Lösung erscheint $\ 2x^2 + 9x + 10 \ = \ (2x + 5 )·(x + 2) \ = \ 0 \ \ ,$ seit $\ (x + 2)·(x + 2) \ + \ (x + 2)·(x + 3)$ $= \ (x + 2)·[ \ (x + 2) + (x + 3) \ ] \ \ .$ Andere Systeme ergeben durch Addition der Gleichungen möglicherweise gar keine Lösungen.

Nehmen wir zum Beispiel das System $\ p(x) \ = \ x^2 - 5x + 6 \ = \ ( x - 2)·(x - 3) \ = \ 0 \ ,$ $q(x) \ = \ x^2 + 7x + 10 \ = \ (x + 2)·(x + 5) \ = 0 \ \ ,$ Die beiden Polynome haben keine gemeinsamen Faktoren, müssen sich aber sicherlich schneiden, da sie sich beide "nach oben öffnen". Wir finden $\ p(x) \ = \ q(x)$ $\Rightarrow \ p(x) - q(x) \ = \ -12x - 4 \ = \ 0 \ \Rightarrow \ x \ = \ -\frac13 \ \ ,$ eine Lösung, die von keinem der Polynomfaktoren sofort vorgeschlagen wird. [Tatsächlich hätten wir zwei "nach oben öffnende" Parabeln wählen können, die durch Polynome repräsentiert werden, die nicht mit reellen Zahlen faktorisiert werden können, und wären trotzdem in der Lage gewesen, den/die Schnittpunkt(e) zu finden.]

Andererseits, $\ p(x) + q(x) \ = \ 2x^2 + 2x + 16 \ \$ hat keine echten Nullen (bzw $\ p(x) \ = \ -q(x) \$ hat keine reellen Lösungen); wir sehen, dass sich die Funktionskurven nicht schneiden. Die Addition der Gleichungen in diesem System gibt also keine Auskunft über die Lösungen des ursprünglichen Gleichungssystems.

Warum gibt das Lösen eines quadratischen Gleichungssystems zusätzliche Wurzeln?

Dheeraj Gujrathi

Sarvesh Ravichandran Iyer

dxiv

Raymond Manzoni

Dheeraj Gujrathi

Dheeraj Gujrathi

Sarvesh Ravichandran Iyer

Sarvesh Ravichandran Iyer

Dheeraj Gujrathi

Sarvesh Ravichandran Iyer

dxiv

Dheeraj Gujrathi

Antworten (4)

Benutzer0102

Dheeraj Gujrathi

Benutzer0102

Hühnermann

Benutzer876009

boojum

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