PPP finden mit Kenntnis von PQ−→−×b→PQ→×b→\overrightarrow{PQ}×\overrightarrow{b}, PQ−→−⋅c→PQ→⋅c→\overrightarrow{PQ}⋅\overrightarrow{c} , b→b→\overrightarrow{b} und c→c→\overrightarrow{c}

Lassen$Q$der Punkt sein$(1,2,3)$, lassen$\overrightarrow{b} = \langle -1, 0, 1\rangle$, und lass$\overrightarrow{c} = \langle 2, 1, 5\rangle$. Es ist bekannt, dass$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$und das$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{c} = 5$.

Finden Sie den Punkt$P$.

Ich habe keine Ahnung, wo ich anfangen soll, um dieses Problem zu lösen, aber ich kenne die generischen Formen des Punktprodukts und des Kreuzprodukts wie folgt:

Allgemeine Gleichung für das Kreuzprodukt:

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =(a_2 b_3 - a_3 b_2)\overrightarrow{i} + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\overrightarrow{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\overrightarrow{k}$$

Allgemeine Gleichung für das Skalarprodukt:

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Mit diesem Wissen können wir also einen Ausdruck für ableiten$\overrightarrow{PQ}$, angesichts der Darstellung von Punkt$P$als$(p_1, p_2, p_3)$:

$$\overrightarrow{PQ} = \langle 1-p_1, 2-p_2, 3-p_3 \rangle$$

Dann, um zu befriedigen$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{c} = 5$, können wir den Ausdruck schreiben:

$$\langle 2, 1, 5 \rangle \cdot \langle 1-p_1, 2-p_2, 3-p_3 \rangle = (2-2p_1) + (2-p_2) + (15-5p_3) = 5$$

Aber ich bin mir nicht sicher, wohin ich von hier aus gehen soll. Ich nehme an, ich könnte nach einem generischen Vektor in Bezug auf auflösen$P$und kombinieren Sie diese Funktion auf ähnliche Weise mit der Funktion, die das Kreuzprodukt verwendet.

Wie finde ich den Punktwert heraus?$P$durch Kombinieren der Skalarprodukt- und Kreuzproduktformeln?

Vielen Dank für deine Hilfe; es wird super geschätzt!