Auffinden der Bedingungen für A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C). }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

Question

Auffinden der Bedingungen für A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C). }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

Vektoren
Mathematik
Kreuzprodukt
Vektoranalyse

Strahl

Ich wollte die Bedingungen finden, in denen $\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C})$ ist gleich $(\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}$ .

Beim Lösen $\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C})-(\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}=\mathbf{0}$ , Ich habe

\begin{matrix} (1) & A (B \cdot C) - C (A \cdot B) = 0 \end{matrix}

$\mathbf{A}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C})- \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\mathbf{0}\tag{1}$ Im Lösungshandbuch steht, dass dies nur dann möglich ist, wenn beides der Fall ist

A

$\mathbf{A}$ ist parallel zu

C

$\mathbf{C}$ oder

B

$\mathbf{B}$ steht senkrecht dazu

A

$\mathbf{A}$ Und

C

$\mathbf{C}$ .

Aber nach dem, was ich gelernt habe, bedeutet dies das $(1)$ wird sein $\mathbf{0}$ nur wenn beide Begriffe drin sind $\mathbf{0}$ . Aber warum betrachten wir hier nicht die Gleichheit dieser beiden Begriffe?

Ich beginne mit der Vektoranalyse. Es wäre also sehr hilfreich, wenn mir jemand helfen könnte.

Antworten (2)

Auffinden der Bedingungen für A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C). }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

Ei · Answer 1

Die Jacobi-Identität ist

A \times (B \times C) + B \times (C \times A) + C \times (A \times B) = 0

$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})+ \mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A})+ \mathbf{C}\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{0}$ Unter Verwendung der Antikommutativität erhalten wir

A \times (B \times C) - (A \times B) \times C = - B \times (C \times A)

$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})- (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}= -\mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A})$ Wenn

A

$\mathbf{A}$ ist parallel zu

C

$\mathbf{C}$ , Dann

C \times A = 0

$\mathbf{C}\times\mathbf{A}=\mathbf{0}$ . Wenn

B

$\mathbf{B}$ steht senkrecht auf beiden

A

$\mathbf{A}$ Und

C

$\mathbf{C}$ , dann ist es parallel zu

C \times A

$\mathbf{C}\times\mathbf{A}$ und deshalb

B \times (C \times A) = 0

$\mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{0}$ .

Was ist mit dem Gegenteil? Angenommen, die beiden Tripelprodukte sind gleich und so weiter $\mathbf{A}$ ist nicht parallel zu $\mathbf{C}$ . Dann, um für $\mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{0}$ das brauchen wir $\mathbf{B}$ ist parallel zu $\mathbf{C}\times\mathbf{A}$ .

Ben Färber · Answer 2

Ben Färber

Wenn $A$ ist parallel zu $C$ dann sind die beiden Terme gleich, aber nicht notwendigerweise einzeln gleich Null.

Wenn $A$ Und $C$ nicht parallel sind, dann sind sie linear unabhängig, daher müssen die Koeffizienten der Linearkombination beide Null sein (was sich auf reduziert $B$ senkrecht zu beiden).

Strahl

B ist weder von A noch von C abhängig, wie wirkt sich dann ihre lineare Unabhängigkeit auf B aus?

Ben Färber

@Adithya

B

$B$ ist sehr abhängig

A

$A$ Und

C

$C$ . Sie können die Frage so umformulieren - Angenommen, Sie haben

A

$A$ Und

C

$C$ , und Sie möchten einen dritten Vektor finden

B

$B$ so dass die Beziehung

(A \times B) \times C = A \times (B \times C)

$(A\times B)\times C = A\times(B\times C)$ hält. Natürlich hängt die Lösung davon ab

A

$A$ Und

C

$C$ (außer in dem degenerierten Szenario, wo

A

$A$ Und

C

$C$ sind parallel, und die ganze Gleichung ist Null für alle

B

$B$ )

Auffinden der Bedingungen für A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C). }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

Strahl

Antworten (2)

Ei

Ben Färber

Strahl

Ben Färber

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