Kann der Nullvektor (1,1) sein?

Angesichts der Operation in R 2 :

( X 1 , j 1 ) + ( X 2 , j 2 ) = ( X 1 X 2 , j 1 j 2 )

Ich würde gerne herausfinden, ob dies ein Vektorraum in ist R . Wenn wir uns das Additiv-Null-Axiom ansehen, erhalten wir:

( X 1 , j 1 ) + 0 = ( X 1 ( 0 ) , j 1 ( 0 ) ) = 0

Um das Additiv-Null-Axiom zu erfüllen, ( X 1 , j 1 ) + 0 = ( X 1 , j 1 ) muss wahr sein. Damit dies wahr ist, 0 müsste sein ( 1 , 1 )

Ist dies möglich, oder könnten wir sagen, dass dies kein Vektorraum ist?

Bei weitem ist nichts schief gelaufen. Fahren Sie fort und überprüfen Sie die anderen Axiome

Antworten (2)

Ist kein Vektorraum, lassen Sie uns zum Beispiel versuchen, das Nullelement darin zu finden R 2 mit der angegebenen Operation.

Lassen P = ( X , j ) ∈ R 2

( X , j ) + ( e 1 , e 2 ) = ( X , j ) impliziert ( X e 1 , j e 2 ) = ( X , j ) und dann e 1 = 1 Und e 2 = 1 es muss das Nullelement sein ( 1 , 1 ) .

Aber in diesem Fall ( 0 , 0 ) ist seitdem nicht invertierbar ( 0 , 0 ) + ( A , B ) = ( 1 , 1 ) impliziert ( 0 , 0 ) = ( 1 , 1 ) was ein Widerspruch ist.

Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe! Das macht jetzt absolut Sinn.
Gern geschehen!

Die additive Identität ist in der Tat ( 1 , 1 ) .

Lassen Sie uns nach dem Gegenteil von suchen ( 0 , 0 ) .

Für alle X , j ∈ R ,

( 0 , 0 ) + ( X , j ) = ( 0 , 0 ) ≠ ( 1 , 1 ) .
Daher kann es kein Vektorraum sein.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Das macht jetzt Sinn, (0,0) hat kein additives Inverses, wobei (1,1) die additive Identität ist
Kann der Nullvektor (1,1) sein?
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