Pfeil Raumkonstruktion

Alles Folgende ist rein spekulativ, da ich nicht genug Zeit habe, um alle Details zu überprüfen, aber ich helfe gerne, wenn jemand in einem Beweis feststeckt.

Lassen Sie uns zuerst definieren, was der Pfeilraum ist. Gegeben sei ein euklidischer Raum$S$(ein Modell von Tarskis Axiomen ), betrachten Sie die folgende Äquivalenzrelation$\operatorname{E}$An$S^2$:

$(P,Q) \operatorname{E} (P',Q') :\Longleftrightarrow$die Segmente$[PQ']$Und$[P'Q]$denselben Mittelpunkt haben (d. h. wenn$PQQ'P'$ist ein Parallelogramm).

Ein Vektor ist ein Element von$S^2/\operatorname{E}$(eine Äquivalenzklasse). Der Einfachheit halber schreibt man$\vec{PQ}$für die Äquivalenzklasse von$(P,Q)$.

Sie benötigen das folgende Lemma:

Lemma Für beliebige Punkte$P,Q,R$, gibt es einen (eindeutigen) Punkt$S$so dass$\vec{PQ} = \vec{RS}$.

Hier ist zB eine Möglichkeit, die Addition von 2 Vektoren zu definieren$\vec{PQ}$Und$\vec{P'Q'}$:

Lassen$S$der Punkt sein, so dass$\vec{QS} = \vec{P'Q'}$, definiert man$\vec{PQ} + \vec{P'Q'} := \vec{PS}$.

Satz Addition ist wohldefiniert!

Für das Produkt eines Vektors mit einem Skalar benötigen Sie ein geeignetes Feld. Wenn Sie mit einem Modell arbeiten$(S,\operatorname{B},\equiv)$von Tarskis Axiom, dann nehmen Sie eine beliebige Linie$\mathcal{D} = (PQ)$. Wir arbeiten mit dem folgenden (geordneten) Feld$(F,+,\cdot,\leqslant)$:

• Domäne:$F := \{\vec{AB} \,|\, A,B \in \mathcal{D}\}$. Somit,$F = \{\vec{PA} \,|\, A \in \mathcal{D}\}$.
• Addition : Vektoraddition wie oben.$(F,+)$ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element$\vec{PP}$.
• Ordnung: Die Ordnung wird durch die Betweenness-Relation induziert$\operatorname{B}$und der Zusatz $$\vec{PA} \leqslant \vec{PB} :\Longleftrightarrow \operatorname{B}(P,C,Q) \vee \operatorname{B}(P,Q,C) \textrm{ where }C \textrm{ is such that} \vec{AB} = \vec{PC}$$
• Multiplikation: Das ist der schwierigste Teil, es ahmt den Satz von Thales nach. Lassen$x,y \in F$, sagen$x = \vec{PA}$Und$y = \vec{PB}$. So rechnet man$x \cdot y$:

Bis hin zum Tausch$x$Und$y$, können wir davon ausgehen, dass es eine gibt$C \notin \mathcal{D}$so dass$CQ \equiv PB$. Lassen$D$sei der Schnittpunkt von$(PC)$und die Parallele zu$(CQ)$Durchgang durch$A$. Das Produkt$x \cdot y$wird gleich sein$\vec{PE}$, Wo$E \in \mathcal{D}$erfüllt$PE \equiv AD$. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten$E$,$\vec{PE} \leqslant \vec{PP}$oder$\vec{PE} \geqslant \vec{PP}$:

1. Wenn beides$\vec{PA}$Und$\vec{PB}$Sind$\leqslant \vec{PP}$(bzw.$\geqslant \vec{PP}$) man nimmt$E$so dass$\vec{PE} \geqslant \vec{PP}$.
2. Ansonsten nimmt man$E$so dass$\vec{PE} \leqslant \vec{PP}$.

Vorschlag $(F,+,\cdot,\leqslant)$ist ein reeller abgeschlossener Körper mit Null$\vec{PP}$und Einheit$\vec{PQ}$.

Anmerkung $F=F_{P,Q}$scheint von der Wahl abzuhängen$P$Und$Q$, aber für alle$P' \neq Q' \in S$so dass$PQ \equiv P'Q'$, bekommt man$F_{P,Q} \cong F_{P',Q'}$kanonisch.