Was genau bedeutet es, dass ein Vektor eine Richtung hat?

Das ist die korrekte Definition in der Physik. Wenn Sie die korrekte Definition eines Vektors in Mathematik einbauen, können Sie den Begriff "Richtung" alternativ leicht verstehen.

Die einem Vektor zugeordnete Richtung bedeutet in der Physik, dass man zunächst ein Koordinatensystem festlegt und sieht, in welche Richtung der Vektor insgesamt wirkt. Nimm zum Beispiel die Geschwindigkeit v.

Sozusagen$v=a\hat{i}$. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit vollständig in Richtung der x-Achse des von Ihnen gewählten Koordinatensystems verläuft. Diese Wirkung eines Vektors ist 0 in der Richtung senkrecht zu der Richtung, in der seine Wirkung als Ganzes ist. Jetzt könnten Sie denselben Vektor für die Geschwindigkeit in einer anderen Basis darstellen. Aber eine logische Änderung der Basis sollte den Vektor nicht ändern (die Geschwindigkeit eines Objekts muss in der gleichen Richtung sein, in welchem ​​Koordinatensystem Sie es auch immer darstellen). Im neuen Koordinatensystem würde also die gesamte Wirkung des Vektors (hier v) immer noch in x-Richtung (Ihres vorherigen Koordinatensystems) liegen, mit der einzigen Änderung, dass Sie Ihren Vektor in einem anderen Koordinatensystem darstellen.

Mathematisch gesehen ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums und es gibt Vektoren, denen man keine Sinnrichtung zuordnen kann. Wie eine Wellenfunktion ist ein Vektor, aber Sie können damit keine Richtung definieren. Eine Matrix ist ein Vektor, aber man kann ihr keine Richtung im normalen Sinne zuordnen.

Ich sollte erwähnen, dass wir nur in unserem dreidimensionalen Raum oder euklidischen Raum einem Vektor einen Richtungssinn sinnvoll zuordnen können und nicht allgemein in anderen Räumen. Denn unser Orientierungssinn selbst existiert für andere Räume nicht. Sie müssen zuerst definieren, was eine Richtung in einem Vektorraum bedeutet, und erst dann kann einem Vektor in diesem Raum ein Richtungssinn gegeben werden. Diese Richtung kann einen völlig anderen Sinn haben als die Richtungen, die wir in unserer Welt zu verstehen gewohnt sind. Sie sehen also, wie Algebra uns dabei hilft, Dinge in höheren Dimensionen zu tun, wo die Geometrie es nicht könnte.

Ich hoffe, das hat geholfen

Das ist eine sehr gute Frage! Es scheint auf den ersten Blick einfach zu sein, enthält aber eine etwas komplexere Nuance.

Wenn du schreibst$v^\to =[23]$Sie schreiben das im Grunde nach den Standardkoordinaten (dh kartesischen)$v$geht 2 Schritte entlang der$x$Achse und 3 entlang$y$. das hängt jedoch vom verwendeten System (also der Basis) ab; Wenn Sie Basen ändern, ändern Sie das Koordinatensystem und damit$v$Die Identifikation von wird sich ändern.

Die Richtung eines Vektors kann auf verschiedene Weise formalisiert werden.

Im euklidischen Raum kann man einen Richtungsvektor als Vektor definieren$\vec u$so dass$|\vec u| = 1$. So sind beispielsweise die Richtungsvektoren in der Ebene diejenigen Vektoren, die auf den Ursprung bezogen sind, deren Spitze auf dem Einheitskreis liegt, und daher stehen die Richtungsvektoren in einer Eins-zu-Eins-Übereinstimmung mit im Intervall gewählten Winkeln$[0,2\pi)$, wobei der Richtungsvektor dem Winkel entspricht$\theta \in [0,2\pi)$Ist$\vec u = \langle \cos \theta, \sin \theta \rangle$. Als nächstes wird ein willkürlicher Nicht-Null-Vektor gegeben$\vec v \ne \vec 0$im euklidischen Raum kann man die Richtung von definieren$\vec v$der Richtungsvektor sein

Eine andere Möglichkeit, die Richtung zu formalisieren, die in jedem Vektorraum funktioniert$V$, geht so. Betrachten Sie die Menge der Vektoren ungleich Null$V - \{\vec 0\}$. Definieren Sie eine Äquivalenzrelation auf$V - \{\vec 0\}$, Wo$\vec u, \vec v \in V-\{\vec 0\}$sind äquivalent, wenn es einen Skalar gibt$r > 0$so dass$r \vec u = \vec v$. Unter dieser Äquivalenzrelation kann man die Richtung eines Nicht-Null-Vektors formal als seine Äquivalenzklasse definieren. Also zwei Vektoren ungleich Null$\vec v,\vec w$die gleiche Richtung haben, bedeutet, dass sie äquivalent sind. Tatsächlich können Sie sogar die Richtung formell definieren$\vec v$als Äquivalenzklasse die Teilmenge aller Vektoren ist$\{r \vec v \mid r > 0\}$; geometrisch ist dies nur der offene Strahl parallel zu$\vec v$.