Ein Teil des Beweises einer Menge ist ein Unterraum von R3R3\mathbb{R}^3

Angenommen, ich habe das Set S = { X ¯ ∈ R 3 : X 1 + X 2 = 0 }

Eines der Dinge, die ich beweisen muss, ist, dass alle zwei Vektoren in S , ihre Summe ist auch drin S

Beweist das folgende?:

Lassen A ¯ , B ¯ ∈ S

Annehmen A 1 + A 2 = 0 und das B 1 + B 2 = 0

A ¯ + B ¯ = ( A 1 + B 1 , A 2 + B 2 , A 3 + B 3 )

Das will ich beweisen ( A 1 + B 1 ) + ( A 2 + B 2 ) = 0 und so

( A 1 + B 1 ) + ( A 2 + B 2 ) = ( A 1 + A 2 ) + ( B 1 + B 2 ) = 0 + 0 = 0

Beweist dies, dass die Summe zweier beliebiger Vektoren in S ist auch dabei S ? Oder gibt es Informationen, die ich vermisse? ... oder ist das einfach falsch ...

Ja, das beweist das perfekt S ist unter Summation abgeschlossen.
Das ist genau richtig, Sie haben den Summenteil für den Unterraum bewiesen
OK, aber Sie vermissen die Eigenschaft von which ( A 1 + B 1 ) + ( A 2 + B 2 ) = ( A 1 + A 2 ) + ( B 1 + B 2 )

Antworten (1)

Ihr Beweis ist richtig. Die Formulierung könnte besser sein, ich würde es so schreiben:

vermuten A ¯ , B ¯ ∈ S . Dies impliziert das A 1 + A 2 = B 1 + B 2 = 0 .

Jetzt, ( A ¯ + B ¯ ) 1 + ( A ¯ + B ¯ ) 2 gleich ( A 1 + B 1 ) + ( A 2 + B 2 ) , durch die Definition der Vektoraddition, und dies können wir umschreiben als ( A 1 + A 2 ) + ( B 1 + B 2 ) = 0 + 0 = 0 . So A ¯ , B ¯ ∈ S nach der Definition von S .

Ein Teil des Beweises einer Menge ist ein Unterraum von R3R3\mathbb{R}^3
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