Inneres Produkt und hermitisches Skalarprodukt

vermuten X _ , j _ ∈ C N × 1 Da sich die beiden Vektoren in einem komplexen Vektorfeld befinden, lautet die Definition ihres inneren Produkts:

⟨ X _ , j _ ⟩ = ∑ ich = 1 N X ich j ich ∗ * steht für konjugiert

dann scheint die Definition für das hermitische Skalarprodukt dieser beiden Vektoren dieselbe zu sein
⟨ X _ | j _ ⟩ = X _ T . j _ ∗ = ∑ ich = 1 N X ich j ich ∗ T steht für Transponierung
Sind inner productund hermitian scalar productdas gleiche Konzept in Vektorräumen auf komplexen Zahlenfeldern definiert?

Antworten (1)

Ein Skalarprodukt ist nur ein anderer Name für inneres Produkt. Sei V ein komplexer Vektorraum. Ein hermitisches inneres Produkt auf V ist eine beliebige Funktion

⟨ , ⟩ : v × v → C ,
das diese Axiome erfüllt :

  1. ⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩

  2. ⟨ u + v , w ⟩ = ⟨ u , w ⟩ + ⟨ v , w ⟩  Und

    ⟨ u , v + w ⟩ = ⟨ u , v ⟩ + ⟨ u , w ⟩

  3. ⟨ C u , v ⟩ = C ¯ ⟨ u , v ⟩  Und

    ⟨ u , C v ⟩ = C ⟨ u , v ⟩ .

  4. ⟨ u , u ⟩ ist eine nicht negative reelle Zahl und ⟨ u , u ⟩ = 0 dann und nur dann, wenn ⟨ u = 0 ⟩ .

Was Sie definiert haben, ist nur ein Beispiel für ein hermitisches inneres Produkt.

v × v ist ein kartesisches Produkt. Rechts? und Sie meinen, das hermitische innere Produkt ist ein breites Konzept, das die obigen Axiome erfüllt. Und was ich oben als definiert habe ∑ ich = 1 N X ich j ich ∗ ist ein Beispiel für ein inneres Produkt.
Wie Sie sehen, habe ich gesagt, dass wir für jeden inneren Produktraum das innere Produkt definieren sollten
Ja, ⟨ X , j ⟩ = ∑ ich = 1 N X ich j ich ¯ ist nur eines von vielen inneren Produkten, die definiert werden können C N . Im Allgemeinen alle inneren Produkte auf C N sind von der Form ⟨ X , j ⟩ = j ¯ T H X Wo H ist eine hermitesche positiv-definite Matrix.
Inneres Produkt und hermitisches Skalarprodukt
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