Fehlt etwas im Triple Cross-Produkt?

Zusamenfassend,$\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})$ist nicht dasselbe wie$\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$, Weil$\vec{a} \cdot \vec{c}$Und$\vec{a} \cdot \vec{b}$sind Scaler, keine Vektoren.

Wenn$a$,$b$Und$c$sind also Scaler

$b(a \cdot c) = b(ac) = bac = cab = c(ab) = c(a \cdot b)$

Dasselbe gilt jedoch nicht für Vektoren. Wenn wir dasselbe mit Vektoren machen (in diesem Fall$\vec{a}$,$\vec{b}$Und$\vec{c}$), Dann$\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})$wäre$\vec{b}$multipliziert mit dem Scaler$\vec{a} \cdot \vec{c}$Und$\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$wäre dasselbe wie$\vec{c}$multipliziert mit$\vec{a} \cdot \vec{b}$. (Wenn Sie sich nicht sicher sind, warum dies Scaler sind, können Sie sich "Dot products and duality | Chapter 9, Essence of linear algebra", ein gutes Video von 3Blue1Brown, ansehen oder einfach die Definition von Punktprodukten googeln.)

Daher stimmt das nicht$\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$für alle Vektoren$\vec{a}$,$\vec{b}$Und$\vec{c}$, Weil$\vec{b}$ist nicht dasselbe wie$\vec{c}$multipliziert mit einem Scaler für alle$\vec{b}$Und$\vec{c}$. (Nur um das klarzustellen, das soll nichts darüber aussagen, ob$\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$gilt für einige Werte von$\vec{b}$Und$\vec{c}$, Wenn$\vec{b}$War$\vec{c}$multipliziert mit einem Scaler.)

Ihre Aussage, dass „$\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})$Und$\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$sind identisch" ist einfach FALSCH! Der erste ist ein Vektor in die gleiche Richtung wie$\vec{b}$und der zweite ist ein Vektor in der gleichen Richtung wie$\vec{a}$.