Zwei komplexe Vektoren ungleich Null, die senkrecht, aber NICHT orthogonal sind?

Ja in$\mathbb{C}^n$, können Sie Vektoren haben, die linear abhängig sind (über$\mathbb{C}$), die aber bezüglich des üblichen (reellen) Skalarprodukts senkrecht stehen$\mathbb{R}^{2n}$. In einem reellen inneren Produktraum sind zwei Vektoren ungleich Null genau dann linear abhängig, wenn der Winkel zwischen ihnen ein ganzzahliges Vielfaches von ist$\pi$. Dies gilt nicht in einem komplexen inneren Produktraum. Das einfachste Beispiel ist$\mathbb{C}$sich selbst: Zwei komplexe Zahlen können einen beliebigen Winkel zwischen sich haben, aber sie sind alle linear abhängig über$\mathbb{C}$.

Beachten Sie insbesondere, dass der Begriff der Orthogonalität in einem komplexen inneren Produktraum (d. h. mit einem komplexen inneren Produkt$0$) ist nicht dasselbe wie der Begriff der Orthogonalität im zugrunde liegenden reellen inneren Produktraum (dh mit reellem inneren Produkt).$0$). Tatsächlich ist das echte innere Produkt nur der reelle Teil des komplexen inneren Produkts. Wenn also zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen$\mathbb{R}^{2n}$(im üblichen Sinne des realen Punktprodukts) sind sie möglicherweise nicht orthogonal$\mathbb{C}^n$(im Sinne des komplexen Skalarprodukts): Man kann nur sagen, dass ihr komplexes Skalarprodukt einen Realteil hat$0$, dh ist rein imaginär.