Komplexes Innenprodukt innerhalb eines Innenprodukts

Frage: Angenommen, es gibt eine komplexe Zahl μ und einen Einheitsvektor u ∈ v (wobei V ein komplexer innerer Produktraum ist) so dass für alle v ∈ v , ϕ ( v ) = v + ( μ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ u . Beweise das ϕ ist genau dann unitär, wenn μ μ ¯ = 1 .

Lösung: ϕ ist unitär gdw ⟨ ϕ ( v ) , ϕ ( w ) ⟩ = ⟨ v , w ⟩ ∀ v , w ∈ v .

Jetzt,

⟨ v + ( μ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ u , w + ( μ − 1 ) ⟨ u , w ⟩ u ⟩

= ⟨ v , w ⟩ + ( μ ¯ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ ¯ ⟨ u , w ⟩ + ( μ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ ¯ ⟨ u , w ⟩ + ( μ ¯ − 1 ) ( μ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ ¯ ⟨ u , w ⟩ = 0
So μ μ ¯ − 1 = 0 .

Der Teil, der mich verwirrt: Diese Eigenschaft, die verwendet wurde (obwohl sie nicht angezeigt wird):

⟨ v , ( μ − 1 ) ⟨ u , w ⟩ u ⟩ = ( μ ¯ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ ¯ ⟨ u , w ⟩

Allerdings verstehe ich das nicht. Ich verstehe, wie die ( μ ¯ − 1 ) wird aus dem inneren Produkt herausgenommen, aber ich verstehe nicht warum ⟨ u , w ⟩ ist nicht komplex konjugiert und warum ⟨ v , u ⟩ Ist. Ich habe versucht, konjugierte Symmetrie für das gesamte innere Produkt zu verwenden und dann das andere innere Produkt herauszunehmen, aber ich bekomme immer noch nicht das angegebene Ergebnis.

Notiz: u ist ein Einheitsvektor.

Bearbeiten: Ich habe die ganze Frage und Lösung gepostet, um zu versuchen, es klarer zu machen.

innerer Produktbereich _ _ _ _ v
Sieht für mich seltsam aus. Der ⟨ v , u ⟩ sollte nicht konjugiert werden.
@copper.hat Ich habe die ursprüngliche Frage gepostet, vielleicht habe ich vergessen, eine bestimmte Eigenschaft zu erwähnen.
Verwenden Sie \in für X ∈ X

Antworten (2)

Es scheint, dass diese Berechnung unter der Annahme durchgeführt wird, dass das Skalarprodukt in der ersten Variablen konjugiert-linear ist und nicht in der zweiten Variablen. So ⟨ λ u , v ⟩ = λ ¯ ⟨ u , v ⟩ Und ⟨ u , λ v ⟩ = λ ⟨ u , v ⟩ statt umgekehrt. Die zweite Amtszeit ( μ ¯ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ ¯ ⟨ u , w ⟩ kommt dann nicht aus ⟨ v , ( μ − 1 ) ⟨ u , w ⟩ u ⟩ aber von ⟨ ( μ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ u , w ⟩ (und es ist stattdessen der dritte Begriff, der von kommt ⟨ v , ( μ − 1 ) ⟨ u , w ⟩ u ⟩ ).

Tatsächlich ist diese Annahme notwendig, damit die Aussage Sinn macht: Beachten Sie das ϕ ist nicht einmal linear, wenn das Skalarprodukt in der zweiten Variablen konjugiert-linear ist. Das muss man wissen wenn man tauscht v von λ v , der Begriff ( μ − 1 ) ⟨ u , v ⟩ u wird multipliziert mit λ (statt λ ¯ ).

Es gibt zwei konkurrierende Definitionen des "inneren Produkts": eine, die in der ersten Variablen konjugiert-linear ist, und eine, die in der zweiten Variablen konjugiert-linear ist. Die beiden Definitionen sind im Wesentlichen äquivalent, da Sie ein inneres Produkt eines Typs nehmen und einfach die Reihenfolge seiner Eingaben tauschen können, um ein inneres Produkt des anderen Typs zu erhalten. Aber man kann das eine oder andere nicht einfach so annehmen: Wenn jemand sagt „ ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ist ein inneres Produkt", sie meinen immer das eine und nicht das andere, und es kann für einige Berechnungen einen Unterschied machen.
Vielen Dank! Macht jetzt absolut Sinn.

Die Formel in Ihren Notizen funktioniert nicht:

In Betracht ziehen u = w = 1 Und v = ich .

Ich habe die ursprüngliche Frage gepostet, vielleicht habe ich vergessen, eine bestimmte Eigenschaft zu erwähnen.
Diese Zeile funktioniert immer noch nicht. Vielleicht könnten Sie die vollständige Lösung bereitstellen, um zu sehen, was wirklich vor sich geht.
Klar, werde es hinzufügen.
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