Vektorräume und Gruppen

Ich habe gerade einen Kurs in linearer Algebra abgeschlossen. Ich studiere Physik im Grundstudium und habe nicht vor, einen Kurs in abstrakter Algebra zu belegen. Das heißt, ich habe ein wenig darüber gelesen.

So wie ich es verstehe, ist ein Vektorraum über einem Feld F eine Menge V zusammen mit zwei Operationen, Skalarmultiplikation (*) und Vektoraddition (+), die die folgenden Bedingungen erfüllen:

  1. Assoziativität der Vektoraddition ... u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
  2. Kommutativität der Vektoraddition ... u + v = v + u
  3. Identitätselement der Vektoraddition ... u + 0 = u
  4. Inverses Element der Vektoraddition ... u + ( − u ) = 0
  5. Identitätselement der Skalarmultiplikation ... 1 ∗ u = u
  6. Distributivität der Skalarmultiplikation ... A ∗ ( u + v ) = A ∗ u + A ∗ v
  7. Schließung ... Wenn u , v sind in v , C ∗ u + D ∗ v ist auch dabei v .

Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Operation ( ∗ ) Folgendes erfüllen:

  1. Schließung ... Wenn G , H sind in G , Dann G ∗ H ist auch dabei G .
  2. Assoziativität ... ( G ∗ H ) ∗ J = G ∗ ( H ∗ J )
  3. Identitätselement ... G ∗ e = e ∗ G = G
  4. Für jede G In G , es existiert H so dass G ∗ H = e .

Ich habe ein paar Fragen:

  1. Sind meine Definitionen von Vektorräumen und Gruppen korrekt?
  2. Was ist der Hauptunterschied zwischen Vektorräumen und Gruppen? Sie scheinen mir sehr ähnlich zu sein.
  3. Mir wurde von meinem Professor für lineare Algebra gesagt, dass es nur der Bequemlichkeit halber sei, sich Vektoren als Pfeile in R^3 mit einer Richtung und einem Betrag vorzustellen. Er sagte, dass Vektoren ein viel abstrakteres und allgemeineres Konzept seien. Was sind denn eigentlich Vektoren?
  4. Gibt es Mengen, die sowohl ein Vektorraum als auch eine Gruppe sind?

Vielen Dank im Voraus!

Ein Vektorraum ist eine abelsche Gruppe mit einer Wirkung durch ein Feld. Jeder Vektorraum ist also auch eine Gruppe. Aber nicht jede Gruppe kann ein Vektorraum sein, zum Beispiel wenn sie nicht abelsch ist.
Sie werden später zumindest etwas einigermaßen fortgeschrittene lineare Algebra und etwas Lügengruppentheorie in Physik brauchen , also könnte es eine schlechte Idee sein, sich gegen abstrakte Algebra zu entscheiden. An meiner Universität war es für Physikstudenten obligatorisch, mindestens einen Grundkurs in Gruppen- und Ringtheorie zu belegen.
(3) Ist die schwierige Frage, weil es in einigen Fällen viele Verwendungen von Vektorräumen gibt. Es ist eine Verallgemeinerung, die in der Mathematik einfach genug auftaucht, um sie gleich zu nennen und zu studieren, aber es ist schwer, einen visuellen Eindruck davon zu vermitteln, was vor sich geht, da einige Bereiche keine visuelle Intuition haben.
@Timbuc Danke für den Rat. An meiner Universität (University of Illinois at Urbana-Champaign) ist es für Physikstudenten nicht obligatorisch, abstrakte Algebra zu belegen. Es ist jedoch für uns obligatorisch, lineare Algebra und komplexe Analysis zu belegen. Der Rest liegt an uns, was wir nehmen.
Nein, nicht alle abelschen Gruppen sind Vektorräume. Die ganzen Zahlen sind eine abelsche Gruppe, aber kein Vektorraum.
Bei Timbucs Rat geht es nicht um Pflicht, sondern darum, was man machen möchte, wenn man Physik studieren möchte. :)
Ein Vektorraum ist nicht nur eine besondere Art von Gruppe. Die Wirkung des Skalarfeldes ist eine zusätzliche Struktur. Nicht jede abelsche Gruppe kann ein Vektorraum sein. Wenn Sie jedoch die Definition leicht ändern, erhalten Sie ein eng verwandtes Ding namens Modul. Ein Modul ist eine abelsche Gruppe mit einer Ringwirkung. Im Grunde ist es ein Vektorraum, in dem Sie nicht durch Skalare teilen können. Jede abelsche Gruppe ist kanonisch ein Modul über dem Ring der ganzen Zahlen.
@Cody, laut meinen Freunden (von denen die besten alle Physiker sind) gibt es keinen Weg durch die Theorie der Elementarteilchen ohne Lügengruppen ... aber wie Thomas erwähnte: In meinem Kommentar ging es nicht um obligatorische, sondern darum, was Sie tun müssen dein Studium bewältigen.
@Timbuc Nochmals vielen Dank. Ich frage mich, warum es an meiner Universität nicht obligatorisch ist, wenn es so wichtig ist, Physik der Oberstufe zu verstehen. Ich habe ein paar Freunde, die Physik im Hauptfach an anderen Universitäten studieren, und abstrakte Algebra ist für sie auch nicht obligatorisch. Vielleicht muss sich das ändern?
@ziggurism Ich verstehe. Bei einem Vektorraum haben Sie den Körper F und den Raum V. Bei einer Gruppe haben Sie nur die Menge G. Ist das, was Sie sagen, der Hauptunterschied?
Beachten Sie, wenn Leute sagen, dass Vektorräume abelsche Gruppen sind, meinen sie mit dem Operator + . Der Operatorname in der Gruppentheorie verwendet tendenziell Multiplikationssymbole als Operatoren ( ∗ , ⋅ , usw.), weil Gruppen nicht kommutativ sein können, und + ist normalerweise kommutativ.)
@Cody Ich kann es nicht sagen. Ich bin auf der Graduate School in Mathematik und ich weiß nur, wann meine Physikerfreunde mit Tränen in den Augen auf mich zukamen und um Hilfe baten, etwas in der Theorie linearer Operatoren (lineare Algebra) und Lügengruppen (bestimmte Gruppen von Matrizen) zu verstehen. Vielleicht enthält der Kurs an Ihrer Universität eine schnelle Einführung in diese Dinge, nur um damit arbeiten zu können.
@Cody: Das ist der Unterschied zwischen abelschen Gruppen und Vektorräumen. Der Unterschied zwischen abelschen Gruppen und allen Gruppen ist ziemlich groß. Abelsche Gruppen sind natürlich eine besondere Art von Gruppe.
@Timbuc: Stimmen Sie zu, dass abstrakte Algebra für die Physik irgendwann notwendig ist. Aber meistens auf Abiturniveau. Ein Physik-Student kann sich wahrscheinlich ohne sie durchschleichen. Obwohl ich zustimmen würde, dass es von Vorteil wäre.
@Cody: Mein Lieblingstext zur abstrakten Algebra ist wahrscheinlich Jacobson. Viele Leute mögen Lang. Dummit und foote für eine elementarere Wahl. Aber das sind alles Mathematik-Lehrbücher. Für Physiker gibt es Georgi und Glashow und Cornwall. Ich würde wahrscheinlich mit Georgi anfangen.

Antworten (1)

  1. Ja. Aber Sie müssen diesen Definitionen keinen Abschluss hinzufügen. Beachten Sie zum Beispiel, dass eine Operation zuallererst eine Funktion ist ⋅ : G × G → G . Und das ist seine Codomain G selbst.

  2. Ein Vektorraum ist a 4 − Tupel ( v , K , + , ⋅ ) , Wo

    + : v 2 → v Und ⋅ : K × v → v
    sind die Operationen. Die Struktur eines Vektorraums ist viel reichhaltiger als die einer Gruppe. Ein Vektorraum hat zwei Operationen und einem zugrunde liegenden Feld, während eine Gruppe nur die Menge mit einer Operation ist (erfüllende Bedingungen, die Sie gut kennen). Gegeben sei ein Vektorraum ( v , K , + , ⋅ ) , ( v , + ) ist immer eine abelsche Gruppe. Beantwortung 4. zusammen, gegeben ein Feld K , K N ist sowohl ein Vektorfeld als auch eine additive Gruppe in Bezug auf die Operationen von K .

  3. Vektoren sind Elemente eines Vektorraums. Es ist nur ein Name. Beispiele für Vektorräume sind:

    • Polynome mit Grad kleiner oder gleich N , mit reellen Koeffizienten: P N ( R ) .
    • Alle kontinuierlichen Funktionen von [ 0 , 1 ] Zu R : C 0 ( [ 0 , 1 ] , R )
    • R N selbst.
    • Matrizen mit reellen Koeffizienten: M N × M ( R ) .

und vieles mehr. ich benutzte R Aus Gründen der Konkretheit können Sie im Allgemeinen ein beliebiges Feld nehmen (für Polynome, Matrizen usw.). Ein Vektor kann also ein Pfeil, eine Funktion, ein Polynom, eine Matrix sein...

Vektorräume und Gruppen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v