Ein endliches Monoid MMM ist genau dann eine Gruppe, wenn es nur ein idempotentes Element hat

Nehme an, dass ( M , ∗ ) ist ein endliches Monoid.

Beweise das M ist genau dann eine Gruppe, wenn es nur ein einziges idempotentes Element gibt M , nämlich e .

Eine Richtung ist offensichtlich, denn wenn M ist dann eine Gruppe X 2 = X impliziert X = e , aber die andere Richtung fordert mich seit über einer Stunde heraus, also habe ich beschlossen, sie hier zu fragen.

Hatte eine absolut gute Antwort und dann wurde mir klar, dass ich das Wort "endlich" verpasst hatte.
@MaliceVidrine, ich frage mich, ob Folgendes gilt: let M bezeichnen ein beliebiges (dh nicht notwendigerweise endliches) kommutatives Monoid. Dann M ist aufhebend, wenn die einzige Idempotenz ist e .

Antworten (2)

Wenn M keine Gruppe ist, dann gibt es ein Element A ∈ M ohne Umkehrung. Seit M ist endlich, es existiert N > M > 0 mit A N = A M . Sie können jetzt eine Macht von finden A das ist idempotent, und es kann nicht die Identität sein, weil A hat keine Umkehrung.

Nehme an, dass A M = A N mit N > M , und daher A M = A M + ( N − M ) .

Das behaupten wir A M = A M + k ( N − M ) für alle k ≥ 0 , und wir beweisen dies durch Induktion über k . Wir haben gesehen, dass es wahr ist k = 0 , 1 . Dann für k > 1 , haben wir unter Verwendung der Induktionsannahme für k − 1 ,

A M + k ( N − M ) = A M + ( k − 1 ) ( N − M ) + ( N − M ) = A M + ( k − 1 ) ( N − M ) A N − M = A M A N − M = A N = A M
wie behauptet.

Jetzt wählen k ausreichend groß das T := M + k ( N − M ) ≥ 2 M . Dann beide Seiten multiplizieren A M = A T von A T − 2 M , wir bekommen A T − M = A 2 ( T − M ) , So A T − M ist idempotent.

Zum Beispiel, wenn A 7 = A 9 , Dann A 7 = A 15 und multipliziert mit A gibt A 8 = A 16 , So A 8 ist idempotent.

Ich sehe nicht, wie ich eine Macht von finden kann A das ist idempotent :/ Würden Sie bitte mit Ihrer Argumentation fortfahren?
Danke. Ich verstehe nicht, warum "wir die erhöhen können N unter Beibehaltung M konstant" wird durch impliziert A N = A M + ( N − M ) = A N + ( N − M ) , können wir das nicht generell immer machen? und ich verstehe nicht, wie das unsere Annahme rechtfertigt N − 2 M ≥ 0 . Ich verstehe, warum wir brauchen N − 2 M aber nicht negativ sein (weil A wird als nicht invertierbar angenommen). Ich würde es begrüßen, wenn Sie versuchen, diese beiden Aussagen zu erklären.
Die Gleichung, die ich geschrieben habe, zeigt, dass Sie immer erhöhen können N von N − M Sie können das also weiterhin tun und es dadurch so viel erhöhen, wie Sie möchten. Du brauchst N − 2 M ≥ 0 um die Multiplikation mit zu rechtfertigen A N − 2 M , Weil A hat keine Umkehrung.
Danke. Ja, ich verstehe, warum wir brauchen N − 2 M ≥ 0 wie gesagt, aber ich sehe nicht ein, warum "wir die erhöhen können N unter Beibehaltung M konstant" impliziert N − 2 M ≥ 0 .
Tut mir leid, ich verstehe nicht, was du nicht verstehst. Ich habe ein Beispiel gegeben. Lassen Sie mich noch einen geben. Nehmen Sie zunächst an, dass M = 23 , N = 27 . Ich kann zunehmen N von 27 − 23 = 4 , damit ich dies fortsetzen und ersetzen kann N bis 31, 35, 39, 43, 47. Jetzt N − 2 M = 47 − 46 = 1 ≥ 0 .
OK, vielleicht habe ich meine Verwirrung falsch erklärt. Sie sagen, dass da "wir die erhöhen können N unter Beibehaltung M konstant" das wissen wir N − 2 M ≥ 0 . Dem stimme ich zu, weil M ist konstant und da es durch die Einnahme endlich ist N groß genug, endlich können wir welche finden N so dass N ≥ 2 M . Ich weiß nur nicht, wie ich es mathematisch genau ausdrücken soll, aber ich denke, es ist nur ein kleines Problem.
Verwendet es Widerspruch? Wo ist der Widerspruch? Da es davon ausgeht M ist keine Gruppe.
@ user795084 Ich habe den Beweis geschrieben, dass einige Macht von A ist formaler idempotent. Ist es jetzt klar?
@DerekHolt Ja, es ist klar. Meine Frage ist, in Ihrem Beweis, dort zu verwenden, wenn M keine Gruppe ist. Wir wollen zeigen, dass M eine Gruppe ist. Gibt es einen Widerspruch?
Ja, es ist ein Widerspruchsbeweis. Ich bin davon ausgegangen M ist keine Gruppe in der ersten Zeile des Beweises, und dann folgerte ich, dass es ein idempotentes Element gibt, das nicht gleich ist e . Mit anderen Worten, wenn e ist dann der einzige Idempotent M ist eine Gruppe.

Vielleicht etwas klarer ausgedrückt. Annehmen X A = X A + B mit B > 0 . Dann für alle ganzen Zahlen u , k , wir haben X A + u = X A + u + k B

Also müssen wir finden u Und k so dass B k = A + u . Das ist einfach. Nehmen B so dass B k ≥ A und lass u = B k − A . Dann X A + u ist idempotent.

Ein endliches Monoid MMM ist genau dann eine Gruppe, wenn es nur ein idempotentes Element hat
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v