Klassifizieren Sie Monoide, die von einem Element erzeugt werden.

Question

Klassifizieren Sie Monoide, die von einem Element erzeugt werden.

monoid
Halbgruppen
Mathematik
Gruppentheorie
abstrakte Algebra

BCLC

Algebra von Michael Artin Exer 2.M.4

M.4. Eine Halbgruppe S ist eine Menge mit einem assoziativen Zusammensetzungsgesetz und mit einer Identität. Elemente müssen keine Inversen haben, und das Löschungsgesetz muss nicht gelten. Eine Halbgruppe S wird von einem Element s der Menge erzeugt $\{1, s, s^2, . . .\}$ der nichtnegativen Potenzen von s ist gleich S. Halbgruppen klassifizieren, die von einem Element erzeugt werden.

Es sieht so aus, als ob das, was Artin Halbgruppen nennt, das ist, was Wiki Monoide nennt .

Wie geht man dabei vor? Basierend auf Exer 2.M.3 (*) denke ich, dass wir Fälle über die möglichen Eigenschaften annehmen müssen $s$ könnte haben. Basierend auf Wiki denke ich, dass Monoide, die von 1 Element generiert werden, nur das triviale Monoid sind. Ist das richtig? Ich denke, das Problem ist, dass wir bekommen, wenn ein Element keine Inverse hat $\{s,s^2,...\}$ ohne Identitätselement $1$ .

(*) Übung 2.M.3

Theo Bendit

Die im Wiki verwendete Definition und die in M.4. sind anders. Sprichwort

s

$s$ erzeugt eine Halbgruppe

S

$S$ im Sinne von M.4. ist gleichbedeutend mit sagen

{1, s}

$\lbrace 1, s \rbrace$ erzeugt das Monoid

S

$S$ im Sinne des Wikis.

BCLC

@TheoBendit warte, ich weiß, dass Halbgruppe in Wiki sich von Halbgruppe in Artin unterscheidet, aber Monoid in Wiki unterscheidet sich auch von Halbgruppe in Artin?

Derek Holt

In der Frage wird erklärt, was es bedeutet, wenn ein Monoid von einem einzigen Element erzeugt wird. Im Allgemeinen die Submonoide

S

$S$ eines Monoids

M

$M$ generiert durch eine Teilmenge von

M

$M$ enthält per Definition das Identitätselement - es muss ein Submonoid sein. Warum versuchen Sie nicht einfach, die Frage so zu beantworten, wie sie geschrieben ist, anstatt über verschiedene Terminologien zu spekulieren? Grob gesagt ist entweder ein solches Monoid mit allen nicht negativen Potenzen unendlich

s

$s$ unterschiedlich, oder Sie wählen

n > m

$n>m$ minimal mit

s^{n} = s^{m}

$s^n=s^m$ .

BCLC

@DerekHolt Ich weiß eigentlich nicht, wie ich das machen soll. Ich hatte gehofft, eine Antwort würde mir helfen, die Frage zu verstehen.

Derek Holt

Ich habe es in meinem Kommentar mehr oder weniger beantwortet. Ich schreibe später eine Antwort.

BCLC

@DerekHolt danke! Ich freue mich auf.

Antworten (1)

Klassifizieren Sie Monoide, die von einem Element erzeugt werden.

Die im Wiki verwendete Definition und die in M.4. sind anders. Sprichwort $s$ erzeugt eine Halbgruppe $S$ im Sinne von M.4. ist gleichbedeutend mit sagen $\lbrace 1, s \rbrace$ erzeugt das Monoid $S$ im Sinne des Wikis.
@TheoBendit warte, ich weiß, dass Halbgruppe in Wiki sich von Halbgruppe in Artin unterscheidet, aber Monoid in Wiki unterscheidet sich auch von Halbgruppe in Artin?
In der Frage wird erklärt, was es bedeutet, wenn ein Monoid von einem einzigen Element erzeugt wird. Im Allgemeinen die Submonoide $S$ eines Monoids $M$ generiert durch eine Teilmenge von $M$ enthält per Definition das Identitätselement - es muss ein Submonoid sein. Warum versuchen Sie nicht einfach, die Frage so zu beantworten, wie sie geschrieben ist, anstatt über verschiedene Terminologien zu spekulieren? Grob gesagt ist entweder ein solches Monoid mit allen nicht negativen Potenzen unendlich $s$ unterschiedlich, oder Sie wählen $n>m$ minimal mit $s^n=s^m$ .
@DerekHolt Ich weiß eigentlich nicht, wie ich das machen soll. Ich hatte gehofft, eine Antwort würde mir helfen, die Frage zu verstehen.
Ich habe es in meinem Kommentar mehr oder weniger beantwortet. Ich schreibe später eine Antwort.

Derek Holt · Answer 1

Wenn die $s^i$ sind für alle unterschiedlich $i \ge 0$ , Dann $S$ ist das unendliche Monoid $\{1,s,s^2,s^3,\ldots \}$ .

Ansonsten existiert ein kleinstes $n$ so dass $s^n = s^m$ für einige $m$ mit $0 \le m < n$ . In diesem Fall, $S$ ist endlich von der Ordnung $n$ , Und $S = \{ 1,s,s^2,\ldots,s^{n-1}\}$ . Dann für nicht negative ganze Zahlen $a<b$ , wir haben $s^a = s^b$ dann und nur dann, wenn $a \ge m$ Und $(n-m)|(b-a)$ . So $1,s,\ldots,s^{m-1}$ sind als Potenzen von eindeutig bestimmt $s$ , aber dann die höheren Mächte von $s$ zyklisch wiederholen.

Beachten Sie, dass unterschiedliche Werte von $n$ Und $m$ führen zu nicht isomorphen Monoiden. Im Falle $m=0$ , erhalten wir die zyklische Ordnungsgruppe $n$ . Wenn $m>0$ , $s$ ist nicht gleich einer Potenz von $s^k$ für alle $k>0$ , So $s$ ist der einzigartige Generator.

Danke DerekHolt! Ich werde später mehr analysieren. Würden Sie vorerst sagen, dass Exer 2.M.5 eine Art Hinweis auf Exer 2.M.4 ist? Ich stelle fest, dass ein Teil Ihrer Antwort Teil eines möglichen Beweises für Exer 2.M.5 ist (was dem Beweis ähnelt, dass multiplikative Primzahlfelder Gruppen sind oder so, während andere Beweise surjektive oder injektive Funktionen mit linken oder rechten Inversen beinhalten)?
Derek: Können Sie mir ein Beispiel dafür geben? $\quad s \in ({\textstyle \mathbb {Z} /j\mathbb {Z}},*) \text{ / modulo-}j \text{ multiplication}\quad$ Wo $m \gt 1$ Und $0 \notin \langle s \rangle$ ?
Entschuldigung, aber ich kann Ihre Frage überhaupt nicht nachvollziehen! Das Element $s$ in der Antwort auf die Frage ist ein Element eines Monoids, nicht die multiplikative Gruppe ganzer Zahlen mod $j$ . Und $0 \not\in \langle s \rangle$ macht keinen Sinn.
Derek - Das Set aller Mod $j$ Rückstände, ${\textstyle \mathbb {Z} /j\mathbb {Z}}$ , wird unter Multiplikation '*' geschlossen; es bildet ein Monoid enthaltend $j$ Elemente und $[0] \in {\textstyle \mathbb {Z} /j\mathbb {Z}}$ . Wenn $s \in {\textstyle \mathbb {Z} /j\mathbb {Z}}$ Dann $\langle s \rangle = \{s^0,s^1,s^2,\dots\} \quad$ .alle Einblicke/Links, die Sie mir anbieten können, werden geschätzt...
Meine Ausgangsmotivation für diesen Kommentar/Fragen: $\quad$ Bei Wolfram $\quad \text{x mod 84 where x in [10^0,10^1, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5, 10^6, 10^7,10^8]} \quad$ gibt $\quad 1, 10, 16, 76, 4, 40, 64, 52, 16 \quad$ und kann jetzt Formeln verwenden / siehe Beispiel (9) für die Dezimalerweiterungsstruktur von beispielsweise $\frac{1}{84}$ . (heute erst gefunden)

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