Jede Menge mit Assoziativität, linker Identität, linker Umkehrung ist eine Gruppe

Ihr Beweis scheint mir richtig zu sein, und es scheint auch, dass Sie verstanden haben, was das Problem mit den Axiomen ist. Der übliche Beweis funktioniert im folgenden Fall ganz gut:

Lassen$(G, *)$eine Halbgruppe sein. Angenommen
(1)$\exists e \in G$so dass$\forall a \in G,\ ae = a$;
(2)$\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$so dass für alle$e\in G$befriedigend 1,$aa^{-1} = e$.

Es ist dann offensichtlich, dass in diesem Fall das Element$e$in (1) ist eindeutig: Tatsächlich, da$G$nichtleer ist (nach (1)), sei$g\in G$willkürlich sein. Dann wenn$e_1$Und$e_2$(1) erfüllen, haben wir$e_1=gg^{-1}=e_2$.

Interessanter ist der nächste Fall:

Lassen$(G, *)$eine Halbgruppe sein. Angenommen
(1)$\exists e \in G$so dass$\forall a \in G,\ ae = a$;
(2)$\forall e\in G$Befriedigung (1) und$\forall a \in G, \exists a_e^{-1} \in G$so dass$aa_e^{-1} = e$.

Das Problem besteht darin, die Eindeutigkeit der Einheit tatsächlich zu beweisen. Beweisen wir es:

Lassen$e$Und$f$(1) erfüllen. Dann

Ich denke, die Bedingungen könnten wie folgt klarer formuliert werden: Let a set$G$mit einer Operation ausgestattet sein${*}:G\times G\to G$(eine binäre Operation), ein Element$e\in G$(eine nulläre Operation) und eine Karte$i:G\to G$(eine unäre Operation), so dass für alle$x,y,z\in G$hat man

1. $x*(y*z)=(x*y)*z$(Assoziativität)
2. $e*x=x$($e$ist eine Linksinverse)
3. $i(x)*x=e$(die Operation$i$erzeugt eine Linksinverse, z$e$, seiner Argumentation)

Zeige, dass$(G,e,i)$ist eine Gruppe, mit anderen Worten, dass$e$ist auch ein recht neutrales Element, und das$i$erzeugt auch eine Rechtsumkehrung (z$e$) seiner Argumentation.

(Zum einen war mir beim ersten Lesen Ihrer Frage nicht klar, dass Ihr "für alle$a\in G$" galt bis zum Ende des Satzes; stattdessen dachte ich, du wolltest das beweisen, wenn es konkret ist $a$hat eine Linksinverse (z$e$) dann hat es auch eine Rechtsumkehrung. Und das ist einfach nicht wahr; Denken Sie an Funktionen auf einer unendlichen Menge unter Komposition, die assoziativ ist und ein zweiseitiges neutrales Element hat, aber einige (injektive, aber nicht surjektive) Elemente haben eine linke Inverse, aber keine rechte Inverse.)

Was einen Beweis angeht, würde ich mich aus Stilgründen an eine strenge Ausdrucksmanipulation halten und vermeiden, dass "der und der Ausdruck eine Umkehrung hat, wenden Sie ihn an beiden Enden an" (obwohl dies präzisiert werden kann, haben Sie nicht einmal gesagt, ob " bewerben" befindet sich links oder rechts). Sie werden dann aus dem Beispiel in der obigen Bemerkung in Klammern sehen, dass es notwendig ist, die umgekehrte Eigenschaft für ein anderes Element als zu verwenden$x$, für welches Element$i(x)$scheint der beste Kandidat zu sein (Ihr Beweis tut dies implizit).

Ich denke auch, dass es am einfachsten ist, mit der rechtsinversen Eigenschaft zu beginnen, was wie folgt gemacht werden kann:

Hier ist ein kurzer, aber nicht intuitiver Beweis (sorry):

Beachte das

Beachte das auch$b \ e = b \ (b^{-1} \ b) = (b \ b^{-1}) \ b = e \ b = b$. Daher ist die linke Identität auch die rechte Identität.

4.38 in A First Course in Abstract Algebra (Autor???)

Ich werde meinen Beweis (der sich von dem im Link unterscheidet) zur Kritik vorlegen und dann meine Frage stellen. G ist eine Menge und x ist eine assoziative binäre Operation. Angenommen, es existiert ae∈G, so dass für alle a∈G ea=a und a−1a=e für einige a−1∈G. Zeigen Sie, dass für dasselbe e ae=a und aa−1=e.

a−1(aa−1)a=(a−1a)(a−1a)=ee=e=a−1a=a−1(a−1a)a Da a−1∈G hat es eine Linksinverse ; Wenden Sie es auf beide Enden an, und wir haben (aa−1)a=(a−1a)a. Als Ergebnis gilt ae = a(a−1a)=(aa−1)a=(a−1a)a=ea.

Beginnen Sie für die rechte Umkehrung mit aa−1=a(a−1a)a−1=(aa−1)(aa−1). Da × eine binäre Operation ist, ist aa−1∈G und hat eine Linksinverse; wenden Sie es an beiden Enden an, und wir haben e=aa−1.