Was passiert, wenn wir G in Äquivalenzklassen zerlegen, die durch seine Automorphismengruppe induziert werden?

Question

Was passiert, wenn wir G in Äquivalenzklassen zerlegen, die durch seine Automorphismengruppe induziert werden?

Mathematik
Gruppentheorie
abstrakte Algebra
Automorphismus-Gruppe

Benutzer62783

Stellen Sie sich vor, wir teilen G unter der Wirkung von Aut(G) ( $O_a=\{\phi(a) | \phi \in Aut(G)\}$ ) und betrachten Sie jede Umlaufbahn als ein Element, wobei die Operation die gleiche ist wie G (so $O_a •O_b=O_{ab}$ ). Wenn ich mich nicht irre, sollte dies eine Gruppe sein. Ist diese Gruppe in irgendeiner Weise interessant? Ich kann nicht wirklich in Worte fassen, wie / warum ich darauf gekommen bin, ich dachte nur, wenn wir die Symmetrielinien in einer Form zeichnen und einen der Unterbereiche nehmen, gibt uns das Informationen über die Form als Ganzes, und ich Denken Sie, was ich getan habe, um diese Idee von der Algebra auf Gruppen zu übertragen. Ich bin in der Gruppentheorie sehr eingerostet, also entschuldige ich mich, wenn irgendein Teil davon falsch formuliert war oder wenn ich etwas Offensichtliches übersehen habe. Danke für jede Hilfe!

Jyrki Lahtonen

Dies ist im Allgemeinen gröber als die Unterteilung in Konjugationsklassen. Ich glaube nicht, dass viel Struktur übrig bleibt. Folgendes berücksichtigen. Lassen

p

$p$ sei eine beliebige Primzahl und

G = Z / p Z

$G=\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}$ . Wir sehen, dass es nur zwei Umlaufbahnen gibt:

{0}

$\{0\}$ Und

G ∖ {0}

$G\setminus\{0\}$ . Unabhängig von der Größe der

p

$p$ .

Antworten (1)

Was passiert, wenn wir G in Äquivalenzklassen zerlegen, die durch seine Automorphismengruppe induziert werden?

Dies ist im Allgemeinen gröber als die Unterteilung in Konjugationsklassen. Ich glaube nicht, dass viel Struktur übrig bleibt. Folgendes berücksichtigen. Lassen $p$ sei eine beliebige Primzahl und $G=\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}$ . Wir sehen, dass es nur zwei Umlaufbahnen gibt: $\{0\}$ Und $G\setminus\{0\}$ . Unabhängig von der Größe der $p$ .

Noah Schweber · Answer 1

Ihre vorgeschlagene Operation

Ö_{A}, Ö_{B} \mapsto Ö_{A B}

$O_a,O_b\mapsto O_{ab}$ ist tatsächlich nicht immer wohldefiniert. Betrachten wir zum Beispiel die Gruppe der Rationalen,

Q

$\mathbb{Q}$ , in Bezug auf die Addition. Diese Gruppe hat nämlich nur zwei Umlaufbahnen

Q ∖ {0}

$\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ Und

{0}

$\{0\}$ . Das bedeutet zum Beispiel

Ö_{1} = Ö_{- 1} Aber Ö_{1 + (- 1)} \neq Ö_{1 + 1} .

$O_1=O_{-1}\mbox{ but }O_{1+(-1)}\not=O_{1+1}.$

Allgemeiner, wenn $G$ ist eine abelsche Gruppe, die ein Element hat $a$ was weder die Identität noch ihre eigene Umkehrung ist, werden wir haben

Ö_{A} = Ö_{- A} Aber Ö_{A + A} \neq Ö_{A + (- A)} .

$O_a=O_{-a}\mbox{ but }O_{a+a}\not=O_{a+(-a)}.$

Ich habe das gerade auf Z/6Z ausprobiert und festgestellt, dass ich wirklich enttäuscht bin, ich dachte, ich würde etwas wirklich Cooles herausfinden. Gibt es vielleicht eine andere Möglichkeit, G mit seiner Automorphismengruppe zu „reduzieren“ und trotzdem die Struktur beizubehalten?

Was passiert, wenn wir G in Äquivalenzklassen zerlegen, die durch seine Automorphismengruppe induziert werden?

Benutzer62783

Jyrki Lahtonen

Antworten (1)

Noah Schweber

Benutzer62783

Automorphismus-Gruppenreihenfolge, wenn alle Nicht-Identitätselemente die gleiche Reihenfolge haben

Automorphismusgruppe des direkten Produkts von Gruppen

Bitte sagen Sie mir, was der Autor sagen möchte. ("Topics in Algebra 2nd Edition" von I N. Herstein)

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