Zählen von Zentralisierern einer Matrix über einem endlichen Körper mit einem bestimmten minimalen Polynom

Für$A\in M_n(k)$, der einfache Fall ist, wenn das Minimalpolynom$m\in k[x]$von$A$Abschluss hat$n$, dh. wenn es welche gibt$v\in k^n$so dass$v,Av,A^2v,\ldots,A^{n-1}v$ist eine Grundlage von$k^n$.

• Wenn$BA=AB$dann schreibe$Bv=\sum_{j=0}^{n-1} c_j A^j v=f(A)v$mit$f\in k[x]$,

  Für alle$l$wir werden haben$BA^l v=A^l B v=A^l f(A)v= f(A)A^l v$.

  Also tatsächlich$B=f(A)$.

• Umgekehrt wenn$B=f(A)$mit$f\in k[x]$dann offensichtlich$B$pendelt mit$A$.

• Die Elemente von$GL_n(k)$pendeln mit$A$werden solche sein$f$ist teilerfremd mit$m$.

Sie sagen, dass Sie festgestellt haben, dass jede Matrix mit pendelt$A$ist von der Form$B=bI+aA+cA^2$; also der Zentralisator von$A$ist der Ring$\mathbb{F}_5[A]$. Der Kern des Homomorphismus$\epsilon_A:\mathbb{F}_5[X]\to\mathbb{F}_5[A]$gegeben von$f(X)\mapsto f(A)$ist nur$\langle X^3-1\rangle$damit der Zentralisierer von$A$ist (isomorph zu) dem Ring$\mathbb{F}_5[X]/\langle X^3-1\rangle$. [Ich persönlich würde die Worte "isomorph zu" hier nicht unterdrücken.]

Jetzt vorbei$\mathbb{F}_5$wir haben das$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$als Produkt unterschiedlicher irreduzibler Faktoren. Also haben wir nach dem chinesischen Restsatz das

$$\mathbb{F}_5[X]/\langle X^3-1\rangle\simeq \mathbb{F}_5[X]/\langle X-1\rangle\oplus \mathbb{F}_5[X]/\langle X^2+X+1\rangle.$$ Als$X-1$Und$X^2+X+1$irreduzibel sind haben wir, dass jeder dieser Quotienten ein Körper ist, sodass unser Zentralisierer isomorph zu ist $$\mathbb{F}_5\oplus\mathbb{F}_{25}.$$

Wenn man dies verallgemeinert, gibt es Komplikationen, wenn$m_A(X)$hat wiederholt irreduzible Faktoren.