Was nützt es, eine Gruppe in Nebenklassen aufzuteilen

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge teilt diese Menge auf. Was ist nun der Nutzen dieser Partition?

In der Gruppentheorie teilen wir die Gruppe in Nebenmengen auf, was nützt es nun? Hilft es mir, die Gruppe in Teilen zu studieren?

Wenn ich eine Gruppe als Ganzes studiere, gibt es viele Elemente, aber wenn ich sie in Nebenklassen aufteile, haben die Elemente dieser Nebenklasse in einer bestimmten Nebenklasse ähnliche Eigenschaften, sodass das Studium eines Elements aus einer Nebenklasse selbst ausreicht.

Stimmt meine Intuition?

Manchmal eine Gruppe G hat eine Untergruppe H deren Elemente Sie als "vernachlässigbar" betrachten möchten. Zum Beispiel, wenn es einen Gruppenhomomorphismus gibt φ an denen wir interessiert sind, dann Elemente von G Das φ Karten zur Identität könnten als "vernachlässigbar" angesehen werden. Und vielleicht möchten Sie zwei Elemente von berücksichtigen G "gleich" sein, wenn ihr Unterschied vernachlässigbar ist. Mit anderen Worten, G 1 Und G 2 sind "gleich", wenn G 1 − G 2 ∈ H . Modding von H gibt uns diese vereinfachte, grobe Ansicht von G wo Elemente von H werden ignoriert.

Antworten (2)

Algebra, zumindest im klassischen Sinne, beschäftigt sich mit dem Lösen von Gleichungen durch "algebraische" Transformationen. Zum Beispiel können wir die Gleichung lösen 2 X + 1 = 5 indem man zuerst 1 subtrahiert und dann mit multipliziert 1 2 . Beide Operationen transformieren die (wahre) Gleichung auf algebraische Weise in eine andere (wahre) Gleichung. Beide Operationen sind auch Homomorphismen! Einer ist ein Homomorphismus der affinen Struktur, der zweite ist ein Ringhomomorphismus. Homomorphismen wandeln also wahre Gleichungen algebraisch in andere wahre Gleichungen um.

Das funktioniert auch bei komplizierteren Dingen. Zum Beispiel die Gleichung ( X − 2 ) 2 = 4 kann durch Ziehen der Quadratwurzel gelöst werden, aber denken Sie auch daran, dass wir ein negatives oder positives Vorzeichen hinzufügen können, also haben wir zwei Lösungen. Auch dies lässt sich in der Sprache der Homomorphismen ausdrücken: Die Gleichung erhält man durch Anwendung eines Homomorphismus der multiplikativen Gruppe (Quadrieren) auf eine von zwei Gleichungen: X − 2 = 2 oder X − 2 = − 2 . Wir erhalten also eine Sammlung mehrerer Gleichungen, die, wenn sie wahr sind, implizieren, dass die ursprüngliche Gleichung wahr ist, was genau das ist, was wir wollen. Beachten Sie bei diesem Vorgang, was mit der rechten Seite der Gleichung passiert ist: Sie kann alle Werte annehmen, die unter der Quadrierungsoperation Urbilder von 4 sind. Es ist also ein Urbild eines Homomorphismus. Aber Urbilder von Homomorphismen sind Nebenmengen des Homomorphismus-Kerns! Um die Gleichung zu lösen, müssen wir also die Nebenklasse finden 2 Ker ⁡ φ , Wo φ : X ↦ X 2 .

In der modernen Algebra kommen Homomorphismen überall vor, und wir kümmern uns um ihre Urbilder, unter anderem aus dem oben erklärten Grund. Und ihre Urbilder sind Nebensätze ihrer Kerne. Wahrscheinlich werden Sie sehr selten auf Nebenklassen ohne einen begleitenden Homomorphismus stoßen, zu dessen Kern sie gehören. Wenn Sie beispielsweise Quotientengruppen konstruieren, werden Sie wahrscheinlich den natürlichen Projektionshomomorphismus untersuchen. Die Nebenklassen, die eine Quotientengruppe bilden, sind genau die Nebenklassen des Kerns dieses Homomorphismus.

Und der Kernel ist eine normale Untergruppe.

In einigen Fällen (insbesondere, wenn die Untergruppe normal ist ) können Sie eine Gruppenstruktur für die Menge der Nebenklassen definieren und eine sogenannte Quotientengruppe bilden . Da die Quotientengruppe kleiner ist, ist sie leichter zu untersuchen und kann wichtige Informationen über die Gruppe liefern.

Eine Nebenklasse kann mehr als ein Element enthalten, sodass die Anzahl der Nebenklassen kleiner oder gleich der Anzahl der Elemente in der Gruppe ist, oder? Die Quotientengruppe ist also kleiner als die Gruppe selbst (intuitiv).
Nun, die Untergruppe mit einem Element ist eine normale Untergruppe, und in diesem Fall ist die Quotientengruppe nur die ursprüngliche Gruppe, sodass wir aus diesem trivialen Fall keinen Nutzen ziehen. Aber in allen anderen Fällen, wenn die Startgruppe endlich ist (und manchmal, wenn sie unendlich ist), dann ist die Quotientengruppe kleiner. Die Größe der Quotientengruppe ist die Größe der ursprünglichen Gruppe dividiert durch die Größe der Untergruppe.
Was nützt es, eine Gruppe in Nebenklassen aufzuteilen
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