Was meint Aluffi im Buch Algebra: Kapitel 0 mit „spitzer Menge“?

„Spitzensätze“ werden in dem Buch nicht explizit definiert, und ich habe einige Fälle gepostet, in denen sie nach steigender Seitenzahl erwähnt werden.

Kapitel 1

Seite 19 (Soweit ich weiß, ist dies die erste Erwähnung eines spitzen Satzes im Buch)

Seite 24

Kapitel 2

Seite 43

Seite 64

Ich verstehe die Konstruktion in Kapitel 1, Seite 24: Beispiel 3.8, sowie die hier gegebene Antwort, warum eine eindeutige Identität Gruppen zu spitzen Mengen macht? , aber ich bin der Meinung, dass die akzeptierte Antwort nicht auf den Grund eingeht, warum die Eindeutigkeit der Identität im Sinne von Beispiel 3.8 auf Seite 24 zu „Gruppen mit spitzen Sätzen“ führt (vorausgesetzt, die Eindeutigkeit der Identität ist überhaupt relevant).

Fragen

1. Laut https://en.wikipedia.org/wiki/Pointed_set ist ein spitzes Set nur ein Paar$(X,x)$Wo$X$ist eine Menge und$x\in X$. Aber ich bin mir nicht sicher, ob Aluffi das sonst meint, warum erwähnt er in Kapitel 2 Seite 43 direkt nach dem Beweis, dass die Identität in jeder beliebigen Gruppe eindeutig ist, dass dies im Sinne von Beispiel 3.8 'Gruppen zu spitzen Mengen macht' auf Seite 24? Mir scheint also, dass der Autor vorschlägt, dass die Einzigartigkeit der Identität ein Faktor ist, der dazu beiträgt, dass Gruppen punktuelle Mengen sind? Aber andererseits sagt die Betrachtung von Beispiel 3.8 nichts über die Forderung nach Eindeutigkeit im Kontext von Gruppen aus. Ist also die Einzigartigkeit der Identität in Gruppen wichtig, um festzustellen, dass Gruppen punktförmige Mengen sind?

2. https://ncatlab.org/nlab/show/pointed+object definiert spitzes Objekt$X$ein Objekt sein, das mit einem globalen Element ausgestattet ist$1\to X$wobei ein globales Element nur ein Morphismus von einem Terminalobjekt ist$1$Zu$X$. Eine spitze Menge ist das, was als spitzes Objekt definiert ist$\mathbf{Set}$. Wenn ich nun diese Definition einer punktierten Menge nehme, dann kommt jede nicht leere Menge dazu$\mathbf{Set}$ist ein spitzes Objekt, was der Autor im Vergleich zu Beispiel 3.8 nicht ganz im Sinn hatte? Oder vielleicht habe ich die Definition von nLab nicht verstanden. Kann anhand eines Beispiels gezeigt werden, dass diese Definition in nLab tatsächlich äquivalent ist?

3. Um die Sache noch komplizierter zu machen, wenn ich die Definition in nLab verwende, dann in Kapitel 2, Seite 64$\text{Hom}_{\mathbf{Grp}}(G,H)$Eine spitze Menge zu sein, macht für mich keinen Sinn, da ich nicht einmal weiß, zu welcher Kategorie dies als Objekt gehört. Was also meint Aluffi mit „Spitzsatz“? Was machte$\text{Hom}_{\mathbf{Grp}}(G,H)$ein spitzer Satz? Ist es nur, dass es nicht leer ist, oder gibt es etwas „Besonderes“ an dem trivialen Morphismus, der macht$\text{Hom}_{\mathbf{Grp}}(G,H)$in eine spitze Menge? An diesem Punkt weiß ich nicht einmal mehr, was Pointed Set bedeutet, und ich fühle mich an diesem Punkt ratlos.