Wo tauchte der Begriff des Produkts in einer Kategorie zum ersten Mal auf?

Es erscheint in MacLanes 1950er Abhandlung Duality for Groups , veröffentlicht im Bulletin of AMS. Natürlich befasst er sich speziell mit der Kategorie der Gruppen, aber die Definition ist kategorisch. Abschnitt 3 mit dem Titel „Kostenlose Produkte und Direktprodukte“ beginnt mit:

„ Lass$A\times B$sei das direkte (oder kartesische) Produkt der Gruppen$A$Und$B$, definiert als die Gruppe von Paaren$(a, b)$für$a\in A$Und$b\in B$. Lassen$\alpha$Und$\beta$bezeichnen die natürlichen Homomorphismen$\alpha(a, b)=a$,$\beta(a, b)=b$des direkten Produkts auf seine jeweiligen Faktoren. Das direkte Produkt kann dann konzeptionell durch beschrieben werden$\alpha$Und$\beta$und das Diagramm [das jetzt vertraute mit der Bezeichnung (3.1)] wie folgt. Angesichts einer beliebigen Gruppe$C$, und alle Homomorphismen$\alpha'$Und$\beta'$von$C$hinein$A$Und$B$bzw. es gibt genau einen Homomorphismus$\gamma: C\to A$mit$\alpha\gamma=\alpha'$Und$\beta\gamma=\beta'$... Diese Eigenschaft des Diagramms (3.1) bestimmt das direkte Produkt$A\times B$und seine Abbildungen$\alpha$Und$\beta$bis auf einen Isomorphismus; daher kann es als Definition des direkten Produkts dienen. "

Eine ähnliche Konzeptualisierung des kostenlosen Produkts wird als nächstes gegeben. Die Idee taucht jedoch bereits zwei Jahre zuvor in MacLanes 1948 erschienener Notiz Groups, Categories and Duality auf, die in Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA veröffentlicht wurde, laut Halls Rezension auf MathSciNet:

„ Das direkte Produkt und das freie Produkt zweier Gruppen werden abstrakt in Form von Homomorphismen definiert, wobei die beiden Definitionen formal voneinander ableitbar sind, indem die folgenden „Dualitätsregeln“ angewendet werden: Umkehrung der Richtung jedes Homomorphismus, Umkehrung der Reihenfolge von alle Produkte von Homomorphismen, vertauschen Homomorphismen on mit Isomorphismen into. "