Kategorische Einführung in Algebra und Topologie

Im Moment lese ich Bücher über Algebra und über Kategorientheorie. Genauer gesagt habe ich angefangen, das Buch Algebra von Serge Lang durchzuarbeiten . Ich habe die Kapitel über Gruppen und Ringe gelesen, aber dann ist meine Motivation irgendwie verschwunden und ich habe mich der Kategorientheorie zugewandt.

Genauer gesagt habe ich angefangen, Categories for the Working Mathematician von Saunders MacLane zu lesen. Ich fühle mich jetzt wohl mit all den Konzepten, die in den ersten fünf Kapiteln besprochen wurden, dh Kategorien und Funktoren und die üblichen Formulierungen universeller Eigenschaften.

Ich würde wirklich gerne weiter über Algebra lesen, aber sobald ich die strukturellen Ansätze der Mathematik verstanden habe, kann ich mir kaum vorstellen, weiterhin all die schrecklichen Berechnungen durchzuführen, mit denen grundlegende Algebra-Bücher wie das von Lang gefüllt sind, anstatt universelle Eigenschaften und so weiter zu verwenden .

Meine Frage ist also im Grunde, ob es Bücher über Algebra gibt, die kein algebraisches Wissen voraussetzen, sondern ausgiebig kategorientheoretische Methoden anwenden. Natürlich ist es sehr unüblich, die gesamte grundlegende Kategorientheorie abzudecken, bevor man sich Anwendungen in Algebra zuwendet, aber ich hoffe, jemand kennt ein Buch oder einige Vorlesungsunterlagen, die meine Bedürfnisse befriedigen.

Außerdem möchte ich etwas Topologie lernen. Auf diesem Gebiet habe ich noch weniger Kenntnisse als in Algebra, dh ich kenne nicht einmal die Definition eines topologischen Raums. Meine Frage ist dieselbe wie bei Algebra: Gibt es eine kategoriale/konzeptionelle Einführung in die allgemeine Topologie?

Ich denke, es wird Ihnen schwer fallen, einen kategorialen Rahmen für die Punktmengentopologie zu finden (algebraische Topologie ist eine andere Geschichte) - dies liegt teilweise daran, dass die Punktmengentopologie im Wesentlichen auf der Mengentheorie basiert. Sobald Sie die Kategorie haben T Ö P Sie können anfangen, Dinge damit zu tun, indem Sie Werkzeuge aus der Kategorientheorie verwenden, aber definieren T Ö P selbst erfordert einen nicht-kategorialen Rahmen (auch wenn Sie einen topologischen Raum durch seine Kategorie offener Mengen definieren möchten, benötigen Sie immer noch eine Axiomatisierung einer Topologie).
„… meine Motivation ist irgendwie verschwunden …“ Lang kann diesen Effekt haben. Es ist ein beeindruckenderes Buch, nachdem Sie das Material kennen und es als Referenz verwenden. Zum Lernen ist es für meinen Geschmack etwas streng und ich glaube nicht, dass ich der Einzige bin. Versuchen Sie Hungerford. Gleiches Material, aber etwas benutzerfreundlicher.

Antworten (10)

Algebra: Kapitel 0 von Paolo Aluffi ist genau das, was Sie für den Algebra-Teil suchen, denke ich.

Was den topologischen Teil betrifft, so kenne ich keine Einführungen in die -allgemeine- Topologie, die so kategorisch sind, aber ich denke, dass die Punktmengentopologie, da sie der Mengenlehre so nahe steht, nicht wirklich für eine interessante und nützliche kategoriale geeignet ist Denken im Allgemeinen. Aber das ist meine Meinung. Algebraische Topologie hingegen ist etwas ganz anderes, aber auch nicht zum Thema.

Ich bin schon auf dieses Buch gestoßen. Aber es geht nicht viel weiter, als die universellen Eigenschaften von Produkten und Koppelprodukten anzugeben, oder? Adjungierte Funktoren, Limits, Yonedas Lemma und all das werden völlig ignoriert, wenn ich mich richtig an das Inhaltsverzeichnis erinnere. All diese Dinge sind so schön für mich, ich würde sie gerne "in Aktion" sehen.
Es geht darüber hinaus. Die Denkweise des Buches ist kategorisch, und soweit ich mich erinnere, wird jedes Konzept, das kategorisch eingeführt und erklärt werden kann, auf diese Weise erklärt. Einige Konzepte werden nach Bedarf eingeführt (es ist ein Algebrabuch, kein Buch über Kategorientheorie), wie z. B. adjungierte Funktoren, die eingeführt werden, um die frei-vergessliche Adjunktion zu erklären. Es ist schon viel mehr, als man von vielen Algebra-Büchern sagen kann, die freie Objekte (Gruppen, Module...) erklären. Yoneda kommt in den Übungen vor, vielleicht weil es in einem ersten Kurs in Algebra nicht so offensichtlich vorkommt.
Um Yonedas Lemma in Aktion zu sehen, sollten Sie zum Beispiel in die algebraische Geometrie gehen :) aber dafür müssen Sie zuerst Ihre grundlegenden abstrakten Algebra lernen! Es ist auch wichtig, sich daran zu erinnern, dass nicht alles kategorisch getan/erklärt werden kann. Zum Beispiel viel Material in einer Standardeinführung in die Gruppentheorie.
"Außerdem ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass nicht alles kategorisch getan / erklärt werden kann. Zum Beispiel viel Material in einer Standardeinführung in die Gruppentheorie." - Das ist wahrscheinlich größtenteils falsch . Die Realität sieht eher so aus: "Wir wissen nicht wirklich, wie es funktioniert" und dass klassisches Denken zu einem großen Hindernis wird (z. B. wie Teilobjekte behandelt werden). Wissend, dass G R P eine konkrete, stark protomodulare, zugespitzte algebraische Kategorie ist, liefert bereits einen riesigen Batzen gruppentheoretischer Theoreme. Davon abgesehen: Viele Dinge sind offensichtlich noch nicht ausgearbeitet.
@StefanPerko: Ich bin (gelinde gesagt) nicht überzeugt. Geben die Adjektive, mit denen Sie die Kategorie der Gruppen charakterisiert haben, Hinweise auf so elementare Aussagen wie zum Beispiel die Sylow-Theoreme?
@BrunoStonek Keine Ahnung. Ich werde vielleicht versuchen, genau dieser Frage nachzugehen, wenn ich meine Bachelorarbeit (über kategorische Algebra) schreibe. Das ist das Hauptproblem: Viele Dinge sind noch nicht ausgearbeitet (oder zumindest nicht öffentlich bekannt). Ich bin ein bescheidener Student - für all das selbst habe ich im Moment nicht wirklich viel Energie übrig.
Aber wir wissen, dass z. B. regulär (aus algebraisch impliziert), spitz, protomodular ausreicht, um die Noether-Isomorphie-Theoreme (mit "normalen Unterobjekten", nicht Kongruenzen) und verschiedene Theoreme aus der homologischen Algebra zu beweisen. Es scheint auch Begriffe von Normalisierer und Zentralisierer in semi-abelschen Kategorien zu geben.
@StefanPerko Ich glaube immer noch nicht, dass Sie einen "riesigen Brocken" gruppentheoretischer Theoreme bekommen können , indem Sie einfach kategorische Adjektive herumwerfen ... im Gegenteil. Ich liebe die Kategorientheorie, aber seien Sie vorsichtig, zu glauben, dass einige Mathematik nicht in diesen Begriffen beschrieben wird, weil sie "noch nicht ausgearbeitet wurde", ist bestenfalls irreführend. Nehmen Sie jedes ernsthafte Buch in Gruppentheorie zur Hand, zB in endlicher Gruppentheorie ... Sie werden viele, viele Theoreme sehen, bei denen es Ihnen schwer fallen wird, sie sinnvoll und kategorisch zu interpretieren. Gruppentheorie ist viel, viel, viel mehr als Isomorphismustheoreme und Normalisierer!
@BrunoStonek Das habe ich nicht gemeint. Offensichtlich haben sehr spezielle Ergebnisse (von denen viele wahrscheinlich über eine erste Einführung in Gruppen hinausgehen) keine Verallgemeinerung auf irgendeine dieser bekannten Arten von Kategorien. Aber das bedeutet nicht, dass man beim Studieren keine kategorische Sprache verwenden kann/sollte. - "die Sie schwerlich kategorisch sinnvoll interpretieren werden", gerade weil wir das überhaupt nicht gewohnt sind

Die kategoriale Entwicklung der Algebra ist leider schwierig, da das notwendige Material auf eine Reihe scheinbar zusammenhangsloser Bücher und Artikel verteilt ist. Eine weitere Schwierigkeit besteht darin, dass die Vermischung von mengentheoretischen Grundlagen mit kategorialer Sprache die Dinge etwas schwer verständlich macht. Ich habe eine Leseliste, aus der Sie die kategoriale Perspektive lernen können, aber das ist eigentlich ziemlich viel Material, und nichts davon stammt aus Lehrbüchern, also ist es ziemlich langsam, daraus zu lernen. Insbesondere lernst du damit nicht wirklich Algebra und bist in Bezug auf den Erwerb von Arbeitswissen beispielsweise von Aluffi besser bedient. Auf jeden Fall ist unten die Liste, die in einer etwas logischen Reihenfolge angeordnet ist, aber Sie sollten wirklich alle Sachen gleichzeitig lesen.

Zunächst müssen Sie verstehen, dass die Kategorie der Mengen s ein gut zugespitzter Topos ist, der innerhalb der syntaktischen (bi)-Kategorie von Prädikaten und funktionalen (Prädikaten-)Klassen liegt. Dafür wollen Sie sich anschauen

  • Skizzen eines Elefanten : Lesen Sie zuerst Abschnitt D1. Hier geht es darum, wie Logik erster Ordnung in kategorialer Sprache aussieht. Sie möchten die syntaktische (Bi-)Kategorie von Prädikaten und funktionalen (Prädikaten-)Klassen verstehen, die mit einer Theorie erster Ordnung verbunden sind. Lesen Sie zweitens die Abschnitte A1 und A2, um zu verstehen, wie ein Topos (daher eine „Mengenlehre“) grundsätzlich aussieht.

Zweitens geht es in der Algebra wirklich um Monaden, in dem Sinne, dass jede Kategorie algebraischer Objekte eine Kategorie von Algebren für eine Monade ist. Dazu sollten Sie lesen

Als nächstes benötigen Sie einige Kenntnisse der angereicherten Kategorietheorie in monooidalen geschlossenen Kategorien, da die meisten Monaden der grundlegenden Algebra von monoiden Objekten in einer monooidalen geschlossenen Kategorie stammen (z. B. Gruppenaktionen sind Algebren für die Monade, die einem Gruppenobjekt in Set zugeordnet ist , Vektorräume sind Algebren für die einfachen Objekte in der Kategorie der monoiden Objekte in der Kategorie der abelschen Gruppen usw.). Das relevante Material zum Verständnis der Konstruktionen dieser Kategorien sind die ersten paar Kapitel von

Hier, bei der Betrachtung der Perspektive der angereicherten Kategorientheorie, ist es entscheidend, ein gutes Verständnis der Kategorie der Mengen als gut formulierten Topos zu haben. Ohne Genauigkeit können Sie nicht viel über die Kategorien von Funktoren schlussfolgern, die Sie bauen, und was die verschiedenen Kategorien von algebraischen Objekten letztendlich sind.

Schließlich gibt es noch die Arbeiten „Monads on Symmetric Monoidal Categories“ und „Closed Categories Generated by Commutative Monads“ von Anders Kock, die sich mit der Tatsache befassen, dass Algebren für kommutative Monaden eine monooidale geschlossene Struktur erben, wenn sich die kommutative Monade in einer monooidalen geschlossenen Kategorie befindet. Hier kommen zum Beispiel Tensorprodukte wirklich her.

In Bezug auf Topologie enthält das Buch Categorical Foundations auch Kapitel III: A Functional Approach to General Topology, das ziemlich aufschlussreich ist, aber Sie sollten es wahrscheinlich nur zusammen mit einem aktuellen Topologiebuch wie Munkres lesen .

Ronald Browns Text Topology and Groupoids ist wahrscheinlich das, was Sie von einem Topologietext erwarten. Er gibt eine Einführung in die allgemeine Topologie und das fundamentale Gruppoid, wobei er durchgehend die Sprache der Kategorientheorie verwendet. Es ist ein hervorragendes Lehrbuch. Ich würde auch die Empfehlungen anderer Poster von Aluffis Algebra-Lehrbuch unterstützen; Es ist sehr gut geschrieben und anfängerfreundlich. Für die homologische Algebra würde ich Weibels Text empfehlen .

Das wäre auch meine Empfehlung. Ronnies Buch ist breit gefächert und sehr kategorisch in seiner Herangehensweise. Nicht alles lässt sich nur mit kategorientheoretischen Methoden beweisen, aber oft kann so eine Motivation für Konstruktionen gegeben werden. (Manchmal muss man sich die Hände „dreckig“ machen und nicht nur aus der Ferne manipulieren.) Als Pluspunkt ist das Groupoid-Zeug großartig, um mehr Algebra zu verstehen.

Das habe ich mich sicherlich schon vor einiger Zeit gefragt (ich bin noch Student) und ich fand Aluffi's: Algebra Chapter 0 die spannendste, interessanteste und kategorischste Einführung in die abstrakte Algebra, die ich kenne.

Ich muss sagen, dass ich sogar alles gehasst habeBezug zur Algebra während meiner ersten Studienmonate; dann habe ich lineare Algebra genommen und es war nicht so schlimm, aber während eines fortgeschrittenen Kurses über lineare Algebra habe ich plötzlich einige coole Dinge über Ringe, Module, Diagrammverfolgung und kanonische Formen aus fortgeschrittener Sicht gelernt (wie zum Beispiel, wie die Krull -Schmidt-Theorem ist an der Eindeutigkeit solcher Zerlegungen beteiligt). Als Student im zweiten Jahr war es für mich sehr schwer, den Kurs zu verstehen, ohne sehr erschöpft zu sein, aber es war absolut großartig, also begann ich drastisch, meine Gefühle für die abstrakte Algebra für immer zu ändern. An diesem Punkt entdeckte ich Aluffis Buch und es wurde für mich vom ersten Moment an zu einem zeitlosen Klassiker. Ich denke, jeder ernsthafte Student sollte sich dieses Buch ansehen, egal ob er Algebra mag oder nicht. Ich wünschte, ich wäre schon früher auf dieses Buch gestoßen,

Was das Topologiebuch betrifft, möchte ich ein Buch empfehlen, das von meinem Topologieprofessor selbst geschrieben wurde. Wie bereits erwähnt, ist Algebraic Topology from an Homotopical Point of View von Aguilar, Gitler und Prieto ein sehr schönes Buch über algebraische Topologie, das, wann immer möglich, verschiedene Geräte aus der Kategorientheorie verwendet. Hier an meiner Universität wird es normalerweise als Buch für Hochschulabsolventen angesehen, aber tatsächlich gibt es ein anderes Topologiebuch, das (auf Spanisch) von Carlos Prieto geschrieben wurde, " Topología Básica" , das sich an Studenten im Grundstudium richtet und sich vollständig auf die Entwicklung von Punktmengentopologie und grundlegender algebraischer Topologie mit einem starken kategorialen und geometrischen Geschmack konzentriert, obwohl nicht viel schwere Maschinerie verwendet wird (tatsächlich soll es als eine solides Sprungbrett zu fortgeschritteneren Büchern über algebraische Topologie Es könnte ein sehr gutes Buch für den algebraisch interessierten Studenten sein, der einen ersten Kurs über Topologie belegt, oder für jeden, der sich für das Erlernen der algebraischen Topologie interessiert, da es das grundlegende Material zur Punktmengentopologie abdeckt Also)

Glücklicherweise gibt es eine englische Übersetzung des Buches, die in zwei Teile aufgeteilt ist: Elements of Point-Set Topology und Elements of Homotopy Theory . Hier findet man beide Kurse sowie einige unvollendete Notizen, die sich mit Faserbündeln und Homologie/Kohomologie aus Sicht der Homotopie befassen [ http://paginas.matem.unam.mx/cprieto/archivos/libros]

Wenn Sie Deutsch verstehen können (und nach Ihrem ursprünglichen Beitrag gehe ich davon aus), empfehle ich Ihnen für eine Einführung in die Topologie mit einem Hauch von Kategorientheorie einen Blick auf "Grundkurs Topologie" von Gerd Laures und Markus Szymik. Es könnte genau das sein, wonach Sie suchen. Obwohl ich bezweifle, dass Sie Yoneda "in Aktion" sehen werden.

Soweit ich das beurteilen kann, stimme ich der lentischen Katachrese zu, wenn er sagt, dass Aluffis Buch eine sehr gute Einführung in die Algebra in einem kategorischen Rahmen ist, obwohl ich festgestellt habe, dass Langs Lehrbuch auch eine gute Referenz ist, insbesondere für fortgeschrittenere Themen.

Jedes Buch über homologische Algebra verwendet intensiv die Kategorientheorie, was keine Überraschung ist, wenn man bedenkt, dass die Kategorientheorie zur Lösung von Problemen in diesen Bereichen geboren wurde.

Aus topologischer Sicht habe ich von Manetti Topology studiert . Meiner Meinung nach ist es ein wirklich gutes Einführungsbuch in die allgemeine Topologie mit einer kategorialen Perspektive: Viele Konzepte werden aus der Pfeilperspektive dargestellt und hervorgehoben. Es hat auch die gleiche Einschränkung wie Aluffis Buch: Es verwendet keine weiter fortgeschrittenen Grenzen und universellen Eigenschaften.

Wenn Sie eine fortgeschrittenere Anwendung der Kategorientheorie sehen möchten, verwendet Spaniers algebraische Topologie Dinge wie das Yoneda-Lemma, obwohl diese Anwendungen manchmal nicht explizit gemacht werden.

Eine weitere sehr gute Referenz zur Anwendung der Kategorientheorie auf die algebraische Topologie ist Algebraic Topology from an Homotopical Point of View von Aguilar, Gitler und Prieto : In diesem Buch können Sie wirklich viele Anwendungen der Kategorientheorie auf die Topologie sehen (als Beispiel, wenn ich Erinnere dich richtig, es gibt einen Beweis dafür, dass die Kategorie der kompakt erzeugten Räume kartesisch abgeschlossen ist über den Satz über den adjungierten Funktor ).

Ich habe 2006 ein Buch mit dem Titel „Introductory Algebra, Topology, and Category Theory“ geschrieben, das sich genau mit diesen Themen befasst. Es ist derzeit kostenlos unter www.hyperonsoft.com/algbk.pdf erhältlich .

Kapitel 2 und 3 befassen sich mit universeller Algebra und Ordnungstheorie. Die Kapitel 4-10 behandeln grundlegende abstrakte Algebra. Die Kapitel 11-13 behandeln Modelltheorie, Berechenbarkeitstheorie und Kategorientheorie durch abelsche Kategorien. Spätere Kapitel verlassen sich frei auf Kapitel 13. Das Buch wurde von der MAA rezensiert.

Antworten zu MSE sollten möglichst in sich abgeschlossen sein. Es ist keine gute Praxis, Antworten zu posten, die fast ausschließlich aus Links zu anderen Ressourcen bestehen – solche Links können unter „Link Rot“ leiden oder zu Orten führen, die nicht für jedermann zugänglich sind (z. B. zu einem physischen Buch, das ein Leser möglicherweise nicht zugreifen können). Während Ihr Buch möglicherweise die Antwort auf diese Frage enthält, ist die Antwort, die Sie hier gepostet haben, nicht enthalten.
Sie können eine Websuche nach dem Titel durchführen. Der Text scheint über einige andere Links verfügbar zu sein. Personen, die sich für dieses Thema interessieren, sollten diesen Text kennen.
@XanderHenderson Für eine "Referenzanfrage" -Frage scheint dies eine vernünftige Antwort zu sein. Vielleicht könnte der Name des Autors, des ursprünglichen Herausgebers (falls vorhanden) oder ein Link zur oben genannten MAA-Rezension zur Antwort hinzugefügt werden, falls er jemals sein Konto löscht, aber ansonsten sehe ich nichts Falsches daran.
Ich stimme Arnaud D. zu , das ist eine ehrliche Antwort und verdient es zu bleiben. Bitte nicht löschen.
Dies ist jetzt auf b-ok.org verfügbar; Suche nach dem Titel.

Sie sollten sich Categorical Foundations von Pedicchio und Tholen ansehen .

Beachten Sie, dass dieses Buch bereits in Vladimir Sotirovs Antwort erwähnt wird.

MacLane selbst hat ein Algebra-Buch geschrieben https://www.amazon.com/Algebra-Chelsea-Publishing-Saunders-Lane/dp/0821816462 , das stark von kategorialen Werkzeugen Gebrauch macht. Sehr zu empfehlen und es geht tatsächlich um etwas fortgeschrittenes (Absolventen-) Material.

Für eine kategorische Sicht der allgemeinen Topologie und eine Diskussion der algebraischen Topologie gibt es das treffend benannte Topology: A Categorical Approach von Bradley, Bryson und Terilla. Das Vorwort besagt, dass sie einige der gleichen Themen behandeln wie Ronald Browns Topology and Groupoids , aber dass ihre Sichtweise von Anfang an kategorischer ist. Diskussionen grundlegender Aspekte der algebraischen Topologie wie Überdeckung von Räumen, Homologie und Kohomologie werden ausgelassen, aber der Text dient als gute Grundlage zur Vorbereitung einer umfassenderen Behandlung der algebraischen Topologie, die in Texten wie Bredon (1993) zu finden ist. Tom Dieck (2008) usw.

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