In dieser Frage beziehe ich mich auf einen "kommutativen Ring mit einer 1, ungleich 0" als Ring.
Ich habe ein paar Mal gesehen, dass es sinnvoller ist, sich Ringe als Objekte vorzustellen, die Ideale enthalten, anstatt überhaupt über die Elemente nachzudenken. In einigen Antworten auf dieser Website heißt es beispielsweise: "Hier ist ein elementfreier Ansatz". Warum ist das eine gute Idee und was sind die Beweggründe dahinter? Aus gruppentheoretischer Sicht wäre es seltsam, die Elemente zu ignorieren, es klingt, als würden wir nur Informationen verlieren. So wie ich es verstehe, sind Ringe nützlich, weil wir mit ihnen die Zahlentheorie studieren können, aber wie könnten wir das elementfrei tun.
Referenzen sind willkommen. Danke.
Manche Leute lassen sich von den Behauptungen um das Element frei hinreißen. Ich würde sagen, dass dies eine gute verwandte Frage ist, die Sie sich ansehen sollten .
Tatsache ist, dass es manchmal nützliche Möglichkeiten gibt, Dinge über Ringe zu charakterisieren, ohne sich auf Elemente zu beziehen und sich nur auf Ideale (oder Untermodule ihrer Module) zu beziehen. Dies gilt für sehr viele Dinge in der algebraischen Geometrie und der homologischen Algebra.
Aber Ideale sind nicht das A und O der Ringtheorie. Betrachten Sie die große Vielfalt der existierenden Felder (und Teilungsringe). Alle sehen gleich aus, wenn man nur auf Ideale achtet.
Es ist wahr, dass die konkrete Verwendung von Elementen manchmal zu Ablenkung und einer Form von Kurzsichtigkeit führt. Beispielsweise werden einige Schüler Matrizen nur als lineare Transformationen verstehen, auf Kosten des abstrakten Verständnisses linearer Transformationen. In gewisser Weise sind sie „zu nah“, um zu sehen, was vor sich geht.
Aber in anderen Fällen scheint es unmöglich, die Elemente zu erwähnen. Zum Beispiel muss so etwas wie ein euklidisches Feld etwas über jedes Element aussagen. Ein weiteres Beispiel könnten boolesche Ringe sein. Mir ist keine elementfreie Charakterisierung dieser …
Man sollte wirklich nicht unbedingt einen Nicht-Element-Ansatz gegenüber dem Element-Ansatz fördern. Sie können beide unter verschiedenen Umständen eingesetzt werden und ergänzen sich gegenseitig.
Dies ist ein bisschen meinungsbasiert, aber ich werde versuchen, es trotzdem zu beantworten.
Die Motivation ist, dass zu viele Informationen manchmal nur ein Rauschen sind, das das große Ganze verwischt. Zum Beispiel wenn hat genau zwei Ideale ( Und ) dann ist es ein Feld. Und so können wir viel über Module sagen (alle sind frei) einfach indem man sich ansieht, wie viele Ideale hat, keine Notwendigkeit, Elemente zu analysieren. Dasselbe könnte man natürlich ableiten, indem man prüft, ob jedes Element eine Inverse hat, schließlich macht es die Tatsache, mehr Informationen zu haben, die Sache nicht schlimmer. Aber wir sind nur Menschen und es gibt nur eine begrenzte Menge an Informationen, mit denen wir umgehen können.
Beachten Sie, dass dies auch für Gruppen gilt. Wir betrachten oft einfache Gruppen, das sind Gruppen mit nur zwei normalen Untergruppen: der trivialen Untergruppe und sich selbst. Allein diese Information impliziert viele Konsequenzen, wie zum Beispiel jeder Homomorphismus mit einer einfachen Gruppe als Definitionsbereich entweder Null oder injektiv ist. Tatsächlich sind endliche einfache Gruppen sehr wichtig, sie sind Bausteine jeder endlichen Gruppe.
Ein weiteres Beispiel: Angenommen, Sie haben eine konkrete Gruppe . Die Gruppe ist groß, das Einmaleins kompliziert, aber irgendwie hast du herausgefunden, dass es genau zwei Untergruppen gibt: die triviale Untergruppe und sich selbst. Voilà, das reicht, um darauf zu schließen ist eine zyklische Gruppe erster Ordnung. Keine Notwendigkeit, den Generator zu finden und seine Reihenfolge zu berechnen. Es sei denn, es wird natürlich benötigt.
Rob Artan