Suchen Sie nach Verweisen auf pythagoreische dreifache Teilmengen

Ich wusste 2009 nichts über die Generierung von pythagoreischen Tripeln, also suchte ich sie in einer Tabelle. Millionen von Formeln später fand ich ein Muster von Sätzen, das im Beispiel unten gezeigt wird.

S e T N T R ich P l e 1 T R ich P l e 2 T R ich P l e 3 T R ich P l e 4 S e T 1 3 , 4 , 5 5 , 12 , 13 7 , 24 , 25 9 , 40 , 41 S e T 2 15 , 8 , 17 21 , 20 , 29 27 , 36 , 45 33 , 56 , 65 S e T 3 35 , 12 , 37 45 , 28 , 53 55 , 48 , 73 65 , 72 , 97 S e T 4 63 , 16 , 65 77 , 36 , 85 91 , 60 , 109 105 , 88 , 137

In jedem S e T N , ( C − B ) = ( 2 N − 1 ) 2 , das Inkrement zwischen aufeinanderfolgenden Werten von A Ist 2 ( 2 N − 1 ) k Wo k die Mitgliedsnummer oder -anzahl innerhalb des Satzes ist, und A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k . Ich habe den Satz des Pythagoras gelöst für B Und C , ersetzte die jetzt bekannten Ausdrücke für A Und ( C − B ) , und bekam B = 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2 C = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2 .

Seitdem habe ich gelernt, dass meine Formel das Äquivalent zum Ersetzen ist ( M , N ) in Euklids Formel mit ( ( 2 N − 1 + k ) , k ) . Ich fand Wege, entweder meine Formel oder die von Euklid zu verwenden, um Tripel zu finden, bei denen nur Seiten, Umfänge, Verhältnisse und Flächen gegeben sind, sowie Polygone und Pyramiden, die aus unterschiedlichen primitiven Tripeln aufgebaut sind.

Ich fand, dass das erste Mitglied jedes Satzes ( k = 1 ) und alle Mitglieder von S e T 1 ( N = 1 ) sind primitiv. Das habe ich gefunden, ggf ( 2 N − 1 ) prim ist, werden nur Primitive generiert S e T N Wenn A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k + ⌊ k − 1 2 N − 2 ⌋ und ich fand das, wenn ( 2 N − 1 ) zusammengesetzt ist, konnte ich nur Primitive erhalten S e T N durch Erzeugen und Subtrahieren der Menge von [mehreren] Tripeln, die erzeugt werden, wenn k ist ein 1 -oder-mehr Vielfache eines beliebigen Faktors von ( 2 N − 1 ) . Die primitive Zählung im ersteren wird direkt erhalten; die Zählung für letzteres erhält man durch Kombinatorik.

Ich versuche, eine Arbeit zu schreiben "On Finding Pythagorean Triples". Sicherlich hat jemand diese Sets in der entdeckt 2300 Jahre seit Euklid, aber ich habe weder online noch in den Büchern, die ich gekauft und gelesen habe, auf sie oder irgendwelche Teilmengen von pythagoreischen Tripeln verwiesen. Meine Frage lautet also: "Wo wurden diese unterschiedlichen Sätze von Tripeln zuvor erwähnt?" Ich möchte die Arbeit zitieren, wenn ich sie finden kann.

Das Kopfgeld ist gerade abgelaufen und keine der beiden Antworten war hilfreich. Ich habe nicht ganz einen Tag, um das Kopfgeld zu vergeben. Irgendwelche Abnehmer? Wo und wann wurden diese Sets schon einmal entdeckt?

Nun, warum nicht ein primitives Tripel nehmen und jeden Term mit einem ungeraden Quadrat multiplizieren?
Ich weiß, dass die Teilmenge ungerade quadratische Vielfache von Primitiven enthält. Ich muss sie nicht finden. Ich suche, was über ihre Eigenschaften untersucht wurde. Ich habe meine eigenen Beobachtungen und möchte sie mit dem vergleichen, was getan wurde. Ich habe sogar eine Formel entwickelt, die die gesamte Teilmenge generiert, aber ich bin sicher, dass dies schon einmal gemacht worden sein muss.
Alle pythagoräischen Tripel haben bestimmte Eigenschaften ...
Alle pythagoräischen Tripel wurden charakterisiert (insbesondere primitive Tripel). Das findest du in jedem Buch über Zahlentheorie.
Ich habe Principia Mathematica von Whithhead/Russell und History of the Theory of Numbers von Dickson, aber das Nächste, was ich finden konnte, war die Summe zweier Quadrate in Band 3 des letzteren, keine Erwähnung irgendeiner Art von Teilmengen von pythagoreischen Tripeln. Ich suche nach Hinweisen auf die unterschiedlichen Sätze von Tripeln, die ich gefunden habe.
Ich weiß nicht, ob Maor, Eli, 2007: The Pythagorean Theorem: a 4000-year History. Princeton Univ. Drücken Sie. ISBN 9-780-691-14823-6 hilft (ich habe es nicht gelesen), aber im Allgemeinen ist es nützlich, Bücher über die Geschichte des pythagoreischen Tripels zu lesen.
@ user90369 Danke für den Vorschlag. Ich habe bisher ungefähr tausend Dollar für Bücher ausgegeben, um nach einer Referenz zu suchen. Es besteht die Möglichkeit, dass dies der Fall sein könnte Ö N e . Wenn Sie jemals eine Referenz zu diesen Sets oder meiner Formel finden, lassen Sie es mich wissen. Das Kopfgeld verfällt in 56 Minuten, während ich schreibe. Ich frage mich, was damit passieren wird.
Ihre Aufteilung in Sets ist sehr speziell, es ist nicht klar, zu welchem ​​​​Zweck (obwohl ich die Erklärung für Nilotpal Kanti Sinha gelesen habe ). Vielleicht sind Sie der Erste, der sich in Sätze aufteilt. ;) Wenn Sie nicht wirklich finden, was Sie suchen, ist es vielleicht besser, Ihr Thema zu erweitern (solange der Kern des Themas erhalten bleibt) und mehr Ideen zuzulassen. Dann können mehr Leser erreicht werden und die Wahrscheinlichkeit, passende Literatur zu finden, steigt. ;) --- Für das Bounty gilt eine Nachfrist von 24 Stunden. :)
@ user90369 Ich möchte, dass das Thema so eng ist. Ich möchte, dass der Fokus auf meiner Formel und den von ihr generierten Sätzen liegt. Ich habe in verschiedenen Formen gefragt, aber die meisten Antwortenden haben sich nicht auf die Frage konzentriert. Sie sind auf allgemein bekannte Dinge losgegangen, die nichts mit dem zu tun haben Q u e S T ich Ö N Ich frage.
Ja, das ist mir hier schon aufgefallen. Aber ganz spezielle Fragen haben meist nicht viele Leser. Wenn ich passende Literatur finde, schreibe ich sie natürlich, aber die Hoffnung ist leider gering.
Keine der beiden Antworten, die ich erhielt, beantwortete oder ging auch nur auf die Frage ein, die sich auf die vorherige Entdeckung der von mir entdeckten Sets bezog. Lediglich die Kommentare von user90369 waren etwas brauchbar.

Antworten (3)

In LE Dickson, History of the Theory of Numbers , Band II, Seite 167

T. Fantet de Lagny 18 ersetzt M von D + N In ( 1 ) und erhalten

X = 2 N ( D + N ) , j = D ( D + 2 N ) , z = X + D 2 = j + 2 N 2 .

Die Fußnote 18 ist kurz „Hist. Acad. Sc. Paris, 1729, 318“.

Ihre Formeln sind

A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k , B = 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2 , C = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2 .

Holen Sie sich dies aus Lagnys Formeln, wenn D wird ersetzt durch 2 N − 1 Und N wird durch ersetzt k .

Daher entspricht Ihre Formel der von de Lagny, außer 2 N − 1 = D ist aber immer merkwürdig, wenn D gerade ist, hat das Tripel einen gemeinsamen Teiler von 2 und kann nicht primitiv sein.

Es wird eine Weile dauern, bis ich deinen Beitrag verstehe, aber es sieht nach einem Schritt in die richtige Richtung aus. Keiner der anderen Beiträge war nützlich und ich habe sie beide abgelehnt. Ich habe meine Kopfgeldpunkte verloren, aber zumindest haben sie sie nicht bekommen.

Dieses Papier definiert die „Höhe“ eines Tripels als C − B und klassifiziert pythagoreische Tripel in Bezug auf ihre Höhe und einen Parameter k .

Höhe und Exzess der pythagoreischen Tripel, D. McCullough – Mathematics Magazine, 2005 – Taylor & Francis,  https://doi.org/10.1080/0025570X.2005.11953298

Es tut mir leid, ich habe nichts gesehen, was mit den von mir entdeckten Sets oder der von mir entwickelten Formel in dem Link zu tun hat. Wenn jemand diese Sets gefunden hat, würde die Formel sicherlich folgen. z.B F ( 1 , 1 ) = ( 3 , 4 , 5 ) , F ( 1 , 2 ) = ( 5 , 12 , 13 ) , F ( 1 , 3 ) = ( 7 , 24 , 25 ) , F ( 1 , 4 ) = ( 9 , 40 , 41 ) F ( 2 , 1 ) = ( 15 , 8 , 17 ) , F ( 2 , 2 ) = ( 21 , 20 , 29 ) , F ( 2 , 3 ) = ( 27 , 36 , 45 ) usw. Können Sie vielleicht einen Hinweis auf eine Variation von Euklids Formel finden, wo A = ( ( 2 M − 1 + N ) 2 − N 2 ) B = ( 2 ( 2 M − 1 + N ) N ) C = ( ( 2 M − 1 + N ) 2 + N 2 ) ? Es erzeugt die im Beispiel gezeigten Sets.

Lassen A 2 + B 2 = C 2 ein Pythagoräisches Triplett sein. Die Formel, die Sie erwähnt haben, ist ein Sonderfall der allgemeinen Formel, die alle Pythagoream-Tripletts ergibt.

A = N ( R 2 − S 2 ) , B = 2 N R S ) , C = N ( R 2 + S 2 )
Wo N , R , S sind einige positive ganze Zahlen. Falls Sie alle primitiven pythagoreischen Tripletts erzeugen möchten, wo A , B , C haben keine gemeinsamen Faktoren dann nehmen gcd ( R , S ) = N = 1 .

Jede andere spezielle Art von Tripletts kann aus dieser allgemeinen Formel generiert werden, sodass eigentlich nichts übrig bleibt.

Ich weiß, dass meine Formel ein Sonderfall ist. Es erzeugt nur und alle Tripel wo G C D ( A , B , C ) = ( 2 M − 1 ) 2 , M ∈ N die alle Primitive enthält. Ein Vorteil ist, dass es die trivialen, die doppelten, die geraden Quadrate und andere nicht-ungerade quadratische Vielfache von Grundelementen, die durch Euklids Formel erzeugt werden, eliminiert. Was ich suche, ist ein Hinweis auf eine frühere Entdeckung der S e T S im Beispiel gezeigt. Meine Entdeckung scheint originell zu sein, aber ich weiß, dass das Eitelkeit ist, also versuche ich, Anerkennung zu zollen, wenn Stand der Technik gefunden werden kann.
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