Wie kann man in den „Baum der primitiven pythagoreischen Tripel“ absteigen?

Es ist bekannt , dass die Menge aller primitiven pythagoräischen Tripel die Struktur eines unendlichen ternären Wurzelbaums hat.

Was ist der genaue Algorithmus ( dh Formel oder möglicherweise ein Satz von drei Formeln), mit dem man ein gegebenes pythagoreisches Tripel nehmen kann? ( A , B , C ) und das unmittelbar kleinere Tripel im Baum finden? Zum Beispiel gegeben ( 165 , 52 , 173 ) , wie erhält man sein [einzigartiges] „Ahnen“-Tripel ( 77 , 36 , 85 ) ?

Ich habe hier einen Artikel über einen geometrischen Mechanismus zum Durchqueren dieses Baums geschrieben . Die genaue Formel ist ( A B S ( P − 2 Q ) , Q )  oder  ( Q , A B S ( P − 2 Q ) ) , vorausgesetzt, Sie können es lösen ( A , B , C ) zum P , Q Paar erzeugen.
Diese Formel wird direkt von der Drei-Wege-Formel in umgekehrter Richtung abgeleitet ( P + 2 Q , Q ) , ( 2 P + Q , P ) , ( 2 P − Q , P ) . In all diesen Formeln haben wir ( A , B , C ) = ( P 2 − Q 2 , 2 P Q , P 2 + Q 2 ) .
Achten Sie bei der Lösungssuche besser auf die Diofantos-Gleichung der Form: A X 2 + B X Y + C Y 2 = J Z 2

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Beginnen mit ( 165 , 52 , 173 ) , versuchen wir, die zu finden P , Q Paar, das dieses Tripel erzeugt, dh P 2 − Q 2 = 165 , 2 P Q = 52 , P 2 + Q 2 = 173 . Ganz klar, wir haben 2 Q 2 = 173 − 165 = 8 ⟹ Q = 2 und somit P = 13 .

Der Vorfahre dieses Tripels ergibt sich aus ( | P − 2 Q | , Q )  oder  ( Q , | P − 2 Q | ) , egal an welchen Orten P ' , Q ' in der Reihenfolge vom Größten zum Kleinsten. In diesem Fall haben wir P − 2 Q = 9 und damit ist das Vorfahrenpaar ( P ' , Q ' ) = ( 9 , 2 ) und daher ist das Vorfahrentripel ( P ' 2 − Q ' 2 , 2 P ' Q ' , P ' 2 + Q ' 2 ) = ( 77 , 36 , 85 ) .

Lässt sich das Vorzeichenproblem nicht vermeiden? dh, gibt es keine Formel, die irgendein pythagoreisches Tripel positiver ganzer Zahlen annehmen kann? ( A N , B N , C N ) und geben Sie seinem „Vorfahren“ ein Tripel ( A N − 1 , B N − 1 , C N − 1 ) mit allen drei Elementen positiv ?

Es ist bekannt, dass es zwei Bäume von pythagoreischen Tripeln gibt (Berggrens und Price), um Ihre Frage zu beantworten, müssen Sie also zuerst identifizieren, von welchem ​​​​Sie sprechen. Abstiegs-/Aufstiegsalgorithmen für beide Bäume sind in der folgenden Abhandlung angegeben.

Bernhart, FR & Price, HL Pythagoras' garden, revisited. Aust. Sr. Math. J. 26, 29–40 (2012). http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ992372.pdf .

Es scheint, dass es mindestens drei Bäume pythagoräischer Tripel gibt (vgl. McCullough). Ich hoffe, einer von ihnen – oder ein anderer, den ich nicht kenne – erlaubt einen Abstieg ohne Vorzeichenwechsel.
FJM Barning (1963) entdeckte denselben Baum wieder, den Berggren 1934 gefunden hatte. McCullough kannte Berggren nicht, und er bezeichnet diesen Baum als "Barning-Baum", daher glaube ich nicht, dass McCullough ein dritter Baum zugeschrieben werden kann.

Sie können die hier gefundenen Matrixtransformationen verwenden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Formulas_for_generating_Pythagorean_triples#Pythagorean_triples_by_use_of_matrices_and_linear_transformations

den Baum der Tripel zu erklimmen. Verwenden Sie zum Absteigen einfach die inversen Matrizen (die ähnlich aussehen, außer dass einige Zeichen umgedreht sind). Sie können jede Umkehrung der Reihe nach ausprobieren, aber tatsächlich brauchen Sie nur eine der drei Umkehrungen zu verwenden. Wenn es nicht das richtige war (d. h. nicht dasjenige, mit dem zum aktuellen Tripel aufgestiegen ist), erhalten Sie trotzdem das Vorfahrentripel, nur einige der Längen sind negativ. Also einfach den absoluten Wert nehmen und fertig.

Zum Beispiel

( 1 2 2 2 1 2 2 2 3 ) − 1 . ( 165 52 173 ) = ( 1 2 − 2 2 1 − 2 − 2 − 2 3 ) . ( 165 52 173 ) = ( − 77 36 85 )

Beginnen wir mit einem [unbestimmten] Tripel ( A , B , C ) , gibt es einen einzigen Ausdruck in [Polynome von?] A , B , C die wir verwenden können, um das Fundamentale darzustellen ( 3 , 4 , 5 ) ?
Lässt sich das Vorzeichenproblem nicht vermeiden? dh, gibt es keine Formel, die irgendein pythagoreisches Tripel positiver ganzer Zahlen annehmen kann? ( A N , B N , C N ) und geben Sie seinem „Vorfahren“ ein Tripel ( A N − 1 , B N − 1 , C N − 1 ) mit allen drei Elementen positiv ?
@KierenMacMillan Eine Formel wäre dann: Verwenden Sie die Matrix multiplizieren und nehmen Sie dann den absoluten Wert. Das ist, wonach Sie fragen, es sei denn, ich verstehe das falsch.
Ich möchte vermeiden, den absoluten Wert verwenden zu müssen.
Dann verstehe ich nicht, was Sie mit "Formel" meinen. Es hört sich so an, als hätten Sie eine Liste von Funktionen, die auf der schwarzen Liste stehen.
Wenn Sie mit "auf der schwarzen Liste" meinen "Ich möchte nicht, dass Sie sie verwenden", dann denke ich, dass der vollständige Satz "die Absolutwertfunktion" ist.
Ein Beispiel… Gegeben: das primitive Tripel
( 14 X 3 , ( X 3 − 7 ) j 2 , X 3 j 2 + 7 j 2 − 14 X 3 ) ,
Wo X Und j sind unbestimmte positive ganze Zahlen , aber wir wissen mit Sicherheit, dass die drei Elemente im Tripel alle positiv sind . Erforderlich: das Vorfahren-Tripel mit allen drei Elementen positiv .
@KierenMacMillan: In deinem Beispiel sehe ich das, wenn wir sagen 2 P Q = 14 X 3 dann können wir auch sagen 2 Q 2 + 2 P Q = 14 j 2 , was uns gibt 7 ∣ Q . Wir bekommen auch 2 P 2 + 2 P Q = 2 X 3 j 2 , was uns gibt X ∣ P . Wenn j gerade ist, dann haben wir 4 P Q = ( X 3 − 7 ) j 2 als Ausgangspunkt... Ich bin mir nicht sicher, wohin ich als nächstes gehen soll, ich muss morgen Stift und Papier hervorholen...
@abiessu: Beachten Sie, dass das angegebene Tripel aus der Mordell-Gleichung abgeleitet wurde j 2 = X 3 + 7 , die keine ganzzahligen Lösungen hat – daraus sollte folgen, dass es keine ganzen Zahlen gibt P , Q Erfüllen der Anforderungen. Ich hoffe, Sie können das beweisen. Aber ich hoffe auch immer noch auf eine einzige Formel – die den absoluten Wert vermeidet und keine mehreren Fälle erfordert, die auf den relativen Größen der Komponenten eines bestimmten Tripels basieren – mit der man ein Tripel zu seinem [einzigartig ] Vorfahre.
@KierenMacMillan: Ich kann nicht sagen, dass ich viel Erfahrung mit einem solchen Unterfangen habe, aber es klingt interessant. Ich werde sehen, was ich mir einfallen lassen kann.
@KierenMacMillan: Durch das gegebene Design dieses Beispiels scheinen Sie zu sagen, dass obwohl Zahlen als angegeben sind ( A , B , C ) In einem Tripel müssen sie nicht unbedingt ein pythagoräisches Tripel sein X , j , ist das richtig? Und dieser Logik folgend würden wir beweisen, dass es keine pythagoräischen Tripel gibt, die sich aus den angegebenen Formeln ergeben ...
@abiessu: Genau. Ich habe mich den hypothetischen ganzzahligen Lösungen zugewandt j 2 = X 3 + 7 in ein hypothetisches primitives pythagoreisches Tripel und versuche jetzt, Eigenschaften von pythagoreischen Tripeln (und/oder rationalen rechtwinkligen Dreiecken) zu verwenden, um zu zeigen, dass es solche ganzen Zahlen nicht gibt.

Ich komme etwas spät zu dieser Frage. In der orthogonalen Gruppe der quadratischen Form X 2 + j 2 − z 2 Es gibt eine Reflexion, die Sie verwenden können, um den Elternteil jedes primitiven pythagoräischen Tripels zu finden (bis zum Vorzeichen, wie andere angemerkt haben, und das Ändern der Vorzeichen, um alle Koordinaten positiv zu machen, ist eine weitere Reflexion). Siehe Beispiele 3.2 und 3.3 und den Beweis von Korollar 3.4 in https://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/descentPythag.pdf . Die Schlüsselreflexion S 123 ist dort in Gleichung (3.3) definiert.

Diese Beschreibung unter Verwendung einer geometrischen Sprache (in einer orthogonalen Gruppe, die nicht die standardmäßige orthogonale Gruppe des dreidimensionalen Raums ist) stützt sich nicht direkt auf die Parametrisierungsformel für primitive pythagoreische Tripel.

Der ternär verwurzelte Baum der pythagoreischen Tripel hat für mich nie einen Sinn ergeben und hat keine Ordnung, die durch bloßes Betrachten wahrgenommen werden kann. Sinnvoller ist ein Muster von Mengen innerhalb der Teilmenge von Tripeln wo G C D ( A , B , C ) ist ein ungerades Quadrat. Diese Teilmenge umfasst alle Grundelemente. Hier ist ein Beispiel:

N T R ich P l e 1 T R ich P l e 2 T R ich P l e 3 T R ich P l e 4 T R ich P l e 5 T R ich P l e 6 S e T 1 3 , 4 , 5 5 , 12 , 13 7 , 24 , 25 9 , 40 , 41 11 , 60 , 61 13 , 84 , 85 S e T 2 15 , 8 , 17 21 , 20 , 29 27 , 36 , 45 33 , 56 , 65 39 , 80 , 89 45 , 108 , 117 S e T 3 35 , 12 , 37 45 , 28 , 53 55 , 48 , 73 65 , 72 , 97 75 , 100 , 125 85 , 132 , 157 S e T 4 63 , 16 , 65 77 , 36 , 85 91 , 60 , 109 105 , 88 , 137 119 , 120 , 169 133 , 156 , 205 S e T 5 99 , 20 , 101 117 , 44 , 125 135 , 72 , 153 153 , 104 , 185 171 , 140 , 221 189 , 180 , 261 S e T 6 143 , 24 , 145 165 , 52 , 173 187 , 84 , 205 209 , 120 , 241 231 , 160 , 281 253 , 204 , 325

Die Formel, die diese Tripel erzeugt, kann verwendet werden, um Nachfolger oder Vorgänger zu finden, indem einfach die Werte von erhöht oder verringert werden N oder k .

A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k B = 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2 C = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2

Was für eine interessante Formulierung! Ist das bekannt/klassisch? Wenn ja, haben Sie Links oder Referenzen? Wenn nicht, haben Sie bewiesen, dass alle Grundelemente enthalten sind, ob es Duplikationen gibt usw.?
@Kieren MacMillan Diese Formel ist meines Wissens original für mich. Ich habe es über Millionen von Tabellenkalkulationsformeln entdeckt, als ich nichts über das Finden von pythagoreischen Tripeln wusste, nicht einmal die Formel von Euklid. Ich konnte in Dutzenden von Büchern, die ich gekauft habe, oder online auf Webseiten oder MSE keine Hinweise darauf finden . Ich habe eine Arbeit darüber geschrieben und wie 'es' und. Die Formel von Euklid kann verwendet werden, um "Triples on Demand" zu finden. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie an anderer Stelle einen Hinweis auf diese Sets oder Formeln finden.
@@Kieren MacMillan Ich habe bewiesen, dass alle Primitiven in meiner Arbeit generiert werden. Zuerst beweise ich A 2 + B 2 = C 2 . Dann beweise ich das G C D ( A , B , C ) = ( 2 X − 1 ) 2 , X ∈ N . Dann nehme ich an, dass mir Tripel durch Addieren fehlen X auf die Erhöhung von A -Werte. Die Schlussfolgerung ist, dass B kann keine ganze Zahl sein, wenn 2 ( 2 N − 1 ) teilt sich nicht X .
Dickson bewies die Lösung ( R + S , R + T , R + S + T ) Wo 2 S T = R 2 ist ein Quadrat. Mit der Substitution ( R , S , T ) = ( 2 k ( 2 N − 1 ) , ( 2 N − 1 ) 2 , 2 k 2 ) , wir haben Ihre Lösung. Es kann sein, dass Dicksons allgemeiner ist (z. S Und T müssen in seiner Lösung keine Quadrate sein); Ich müsste weitere Untersuchungen durchführen, um das mit Sicherheit festzustellen.
Seite 8 in < jstor.org/stable/2968644 > enthält Dicksons Lösung. Er verlangt gcd ( S , T ) = 1 [Notiz: S Und T sind geschrieben als M Und N in der Originalarbeit], Ihre Lösung ist also genau die gleiche wie die von Dickson.
Ich glaube, Ihre Tabelle ist der getarnte dreifache Baum, die drei „Zweige“ sind: RECHTS (entspricht C = B + 1 ), UNTEN (entspricht C = A + 2 ) und DIAGONAL (entspricht B = A + 1 ). Davon abgesehen ist es vielleicht eine intuitivere Präsentation.
Wie kann man in den „Baum der primitiven pythagoreischen Tripel“ absteigen?
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