Unterschied zwischen Prime Hypotenuse auf pythagoräischen Dreiecken immer durch 4 teilbar?

Ich habe ein VBA-Skript zusammengestellt, um alle pythagoreischen Dreiecke von 3,4,5 bis 105, 608, 617 zu finden. Dann habe ich sie durch Erhöhen der Hypotenuse angeordnet C , und identifizierte alle Dreiecke wo C war eine Primzahl. Ich habe dann jeweils subtrahiert C Wert von der vorangehenden Primzahl C und fand heraus, dass in jedem Fall die Differenz zwischen den beiden Werten durch 4 teilbar war.

Beispiel 1:

12 2 + 35 2 = 37 2
9 2 + 40 2 = 41 2

Und 41 − 37 ≡ 0 ( Mod 4 ) .

Beispiel 2:

9 2 + 40 2 = 41 2
29 2 + 45 2 = 53 2

Und 53 − 41 ≡ 0 ( Mod 4 ) . Und so weiter.

Gibt es eine Möglichkeit zu beweisen, ob dies für alle Primzahlen gilt, die durch die Quadratwurzel der Summe zweier ganzer Quadratzahlen dargestellt werden können?

Antworten (2)

Der Grund ist, dass die Hypotenuse von der Form ist

C = λ ( u 2 + v 2 ) ,
Wo u , v > 0 (sind teilerfremd und) haben unterschiedliche Parität , das heißt, einer von ihnen ist gerade und der andere ungerade.

Wenn eine solche C ist dann prim λ = 1 , und dann u 2 + u 2 ≡ 1 ( Mod 4 ) .

Daher der Unterschied zweier solcher C ist ≡ 0 ( Mod 4 ) .

Sie können jedes primitive pythagoreische Tripel mit darstellen { M 2 − N 2 , 2 M N , M 2 + N 2 } , wobei die letzte Zahl die Hypotenuse darstellt. Für M 2 + N 2 Primzahl sein, M 2 + N 2 ≡ 1 Mod 4 oder M 2 + N 2 ≡ 3 Mod 4 . Der zweite Fall kann ignoriert werden, weil M 2 ≡ 0 Mod 4 oder M 2 ≡ 1 Mod 4 für alle ganzen Zahlen, also M 2 + N 2 ≡ 0 , 1 , oder  2 Mod 4 . Das bedeutet, dass alle Primhypothenusen um eins größer als ein Vielfaches von vier sein müssen, sodass ihre Differenz immer durch vier teilbar ist.

@AndreasCaranti: Er meint jedes primitive pythagoreische Tripel. Das heißt, kein gemeinsamer Faktor.
@AndreasCaranti Danke.
Unterschied zwischen Prime Hypotenuse auf pythagoräischen Dreiecken immer durch 4 teilbar?
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