Wie viele Variationen von neuen primitiven pythagoreischen Tripeln gibt es, wenn die Hypotenuse mit einer Primzahl multipliziert wird?

Question

Wie viele Variationen von neuen primitiven pythagoreischen Tripeln gibt es, wenn die Hypotenuse mit einer Primzahl multipliziert wird?

Mathematik
Primzahlen
Summen von Quadraten
pythagoräische Tripel
Elementarzahlentheorie

Isamu Isozaki

Als ich mir alle pythagoreischen Tripel von 1 bis 1000 ansah, bemerkte ich einen gewissen Trend, den ich mir nicht erklären kann. Gegeben $a, b, c$ sind ganze Zahlen wo $c$ ist die Hypotenuse, und $a < b$ , waren die Trends

Für alle $(a, b, c)$ ist wo $c$ eine Primzahl ist, ist nur ein Paar möglich. Hier haben nicht alle Primzahlen diese Eigenschaft. Es gibt Primzahlen, denen keine Tripel entsprechen, aber ich konnte keine konsistente Eigenschaft zwischen diesen Primzahlen finden.
Wenn c mit einer anderen Primzahl multipliziert wird, die die Eigenschaft hat, ein Triplett zu haben, und diese Primzahl eine andere Primzahl als die erste Primzahl ist, werden zwei neue primitive pythagoräische Paare gebildet. Wenn wir zum Beispiel für (3, 4, 5) und (5, 12, 13) c = 65 betrachten, was 5 mal 13 ist, gibt es 4 Paare, nämlich (52, 39), (56, 33 ), (60, 25), (63, 16) wobei (65, 56, 33) und (65, 63, 16) neue primitive pythagoräische Tripel sind.
Wenn c mit derselben Primzahl c multipliziert wird, wird nur 1 neues primitives pythagoreisches Tripel erzeugt.

Kann mir jemand erklären, warum diese Trends hier sind? Vielen Dank im Voraus! Im Folgenden werde ich meinen fehlgeschlagenen Ansatz dokumentieren, nur für den Fall, dass dies zur Klärung meiner Frage beiträgt.

Mein (erfolgloser) Ansatz

Für 1 habe ich versucht, einen Widerspruchsbeweis zu verwenden, wo ich versucht habe, das zu beweisen

C^{2} = A_{1}^{2} + B_{1}^{2} = A_{2}^{2} + B_{2}^{2}

$c^2 = a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2$ war unmöglich. Leider konnte ich keinen Widerspruch finden. (Ich nehme jedoch an, dass es einen gibt)

Für 2, wo $c_0, c_1$ sind Primzahlen, beim Betrachten $c_0c_1$ ,

C_{0}^{2} C_{1}^{2} = (A_{0}^{2} + B_{0}^{2}) (A_{1}^{2} + B_{1}^{2}) = A_{0}^{2} C_{1}^{2} + B_{0}^{2} C_{1}^{2} = A_{1}^{2} C_{0}^{2} + B_{1}^{2} C_{0}^{2}

$c_0^2c_1^2 = (a_0^2 + b_0^2)(a_1^2 + b_1^2) = a_0^2c_1^2 + b_0^2c_1^2 = a_1^2c_0^2 + b_1^2c_0^2$ wo die anderen zwei Tripel, die primitiv sein werden, von der Erweiterung davon kommen werden.

Für 3 war der grundlegende Ansatz derselbe wie für 2, mit Ausnahme der Tatsache, dass $c_0 = c_1$ Ich konnte keine primitiven Drillinge finden.

Saulspatz

Betrachten Sie den Satz von Fermat über die Summe zweier Quadrate. Außerdem ist die Summe von zwei Quadraten mal die Summe von zwei Quadraten wieder die Summe von zwei Quadraten.

Isamu Isozaki

Entschuldigung für die späte Antwort. Danke mein Herr!

poetase

Wenn Sie eine beliebige Hypotenuse mit einer anderen Primzahl als 2 multiplizieren, ist das Ergebnis ungerade. Um herauszufinden, ob es existiert oder nicht

1

$1$ -oder-mehr-Tripel mit dieser Hypotenuse, siehe übereinstimmende Seiten von pythagoreischen Tripeln .

Antworten (3)

Wie viele Variationen von neuen primitiven pythagoreischen Tripeln gibt es, wenn die Hypotenuse mit einer Primzahl multipliziert wird?

Betrachten Sie den Satz von Fermat über die Summe zweier Quadrate. Außerdem ist die Summe von zwei Quadraten mal die Summe von zwei Quadraten wieder die Summe von zwei Quadraten.
Wenn Sie eine beliebige Hypotenuse mit einer anderen Primzahl als 2 multiplizieren, ist das Ergebnis ungerade. Um herauszufinden, ob es existiert oder nicht $1$ -oder-mehr-Tripel mit dieser Hypotenuse, siehe übereinstimmende Seiten von pythagoreischen Tripeln .

Michael Rosenberg · Answer 1

Zur ersten Aussage.

Wenn $c=4n+1$ , Wo $n$ ist natürlich u $c$ eine Primzahl ist, dann ist es wahr.

Außerdem haben wir

C_{0}^{2} C_{1}^{2} = (A_{0}^{2} + B_{0}^{2}) (A_{1}^{2} + B_{1}^{2}) = A_{0}^{2} A_{1}^{2} + A_{0}^{2} B_{1}^{2} + B_{0}^{2} A_{1}^{2} + B_{0}^{2} B_{1}^{2} =

$c_0^2c_1^2=(a_0^2+b_0^2)(a_1^2+b_1^2)=a_0^2a_1^2+a_0^2b_1^2+b_0^2a_1^2+b_0^2b_1^2=$

= (A_{0} A_{1} + B_{0} B_{1})^{2} + (A_{0} B_{1} - A_{1} B_{0})^{2} = (A_{0} A_{1} - B_{0} B_{1})^{2} + (A_{0} B_{1} + A_{1} B_{0})^{2} .

$=(a_0a_1+b_0b_1)^2+(a_0b_1-a_1b_0)^2=(a_0a_1-b_0b_1)^2+(a_0b_1+a_1b_0)^2.$

emacs macht mich wahnsinnig · Answer 2

Kann mir jemand erklären, warum diese Trends hier sind?

Lassen $n$ eine natürliche Zahl sein, die als Faktoren gilt $\def\mod{\operatorname{mod}}$

N = \prod_{P prim} P^{M_{P}}

$n=\!\!\prod_{p\text{ prime}} p^{m_p}$

Wenn $m_p>0$ für einige prime mit $p\neq1\mod 4$ , dann gibt es kein primitives pythagoreisches Tripel $(a,b,n)$ .
Lassen $n$ nur aus Primzahlen zusammengesetzt sein $p=1\mod 4$ , Und $m$ sei die Anzahl solcher Primzahlen (ohne Vielfachheit). Dann gibt es genau $2^{m-1}$ primitive pythagoräische Tripel der Form
$(A, B, N) Wo 0 < A < B$ $(a,b,n)\quad\text{ where }\quad 0<a<b$

Zum Beispiel, $65=5·13$ entsteht $2^{2-1}=2$ solche Tripel, gleiche für $85=5·17$ . Daher, $c=5525=5^2·13·17$ ergibt 4 primitive Tripel, nämlich:

$(1036, 5427, c)$
$(2044, 5133, c)$
$(2163, 5084, c)$
$(3124, 4557, c)$

Um dies zu sehen / zu berechnen, Faktor $c$ über $\Bbb Z[i]$ , die Gaußschen ganzen Zahlen . $c$ zerfällt in $2m$ Primfaktoren (ohne Multiplizität) von $m$ Paare konjugieren. Um alle Tripel zu erhalten, nehmen Sie eine Primzahl des ersten $^1$ paaren Sie es mit der entsprechenden Leistung $m_p$ , und multiplizieren Sie es mit dem Konjugierten der verbleibenden Paare zu ihren Potenzen $m_p$ . $\def\cc{\mathrm{c.c}}$

Zum Beispiel haben wir bis zu Einheiten die Faktorisierungen $17=(4+i)_\cc$ , $5=(2+i)_\cc$ Und $13=(2+3i)_\cc$ wobei "cc" bedeutet, mit dem entsprechenden Komplexkonjugierten zu multiplizieren. Dies ergibt – bis auf Ordnung, Einheiten und komplexe Konjugation – die 4 verschiedenen Produkte der Norm 5525

(2 + ich)^{2} \cdot (2 \pm 3 ich) \cdot (4 \pm ich)

$(2+i)^2·(2\pm3i)·(4\pm i)$

$^1$ Die Reihenfolge spielt keine Rolle, legen Sie einfach eine Bestellung nach Ihren Wünschen fest.

poetase · Answer 3

Zu lange für einen Kommentar:

@emacs macht mich wahnsinnig Sie haben auf etwas hingewiesen, worüber ich noch nie nachgedacht habe: dass die Anzahl der primitiven Tripel für eine gegebene $C$ Ist $2^{X-1}$ Wo $x$ ist die Anzahl der Primfaktoren von $C$ die die Form annehmen $4x+1, x\in\mathbb{N}$ . Zum Beispiel: $\quad 1185665 =5*13*17*29*37$ und hat $16$ primitive Tripel. Notiz: $f(m,n)$ bezieht sich auf Euklids Formel wo $\quad A=m^2+n^2\quad B=2mn\quad C=m^2+n^2$ .

$f(796,743)=(81567,1182856,1185665)\\ f(856,673)=(279807,1152176,1185665)\\ f(863,664)=(303873,1146064,1185665)\\ f(904,607)=(448767,1097456,1185665)\\ f(908,601)=(463263,1091416,1185665)\\ f(929,568)=(540417,1055344,1185665)\\ f(961,512)=(661377,984064,1185665)\\ f(992,449)=(782463,890816,1185665)\\ f(1028,359)=(927903,738104,1185665)\\ f(1049,292)=(1015137,612616,1185665)\\ f(1052,281)=(1027743,591224,1185665)\\ f(1063,236)=(1074273,501736,1185665)\\ f(1072,191)=(1112703,409504,1185665)\\ f(1076,167)=(1129887,359384,1185665)\\ f(1084,103)=(1164447,223304,1185665)\\ f(1087,64)=(1177473,139136,1185665)\\$

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