Beweis mit primitiven pythagoreischen Tripeln

Ich lerne gerade etwas über primitive pythagoreische Tripel und habe Probleme, mich dem folgenden Beweis zu nähern.

Angesichts dessen X , j , z , ist ein primitives pythagoreisches Tripel mit j sogar ich muss zeigen:

X + j ≡ X − j ≡ 1 , 7 ( Mod 8 )

Bisher ist mir nur das aufgefallen X + j Und X − j muss seltsam sein, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich die Äquivalenz zueinander bestimmen soll Mod 8 . Kann mir jemand einen kleinen Schubs in die richtige Richtung geben?

X 2 − j 2 ≡ X 2 + j 2 ( Mod 8 ) seit 2 j 2 ≡ 0 ( Mod 8 ) . Seit X 2 + j 2 ein ungerades Quadrat ist, muss es sein 1 ( Mod 8 ) .

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Ein Anfang: Beachten Sie das X Und z sind seltsam, also X 2 ≡ 1 ( Mod 8 ) Und z 2 ≡ 1 ( Mod 8 ) . Es folgt dem z 2 − X 2 ≡ 0 ( Mod 8 ) . Daher j 2 ist teilbar durch 8 , und deshalb j ist teilbar durch 4 .

Das können wir jetzt zeigen X + j ≡ X − j ( Mod 8 ) . Für ( X + j ) − ( X − j ) = 2 j , und da j ist teilbar durch 4 , es folgt dem 2 j ist teilbar durch 8 .

Beweis mit primitiven pythagoreischen Tripeln
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