Wie viele eindeutige Zahlen erhält man, wenn man zwei natürliche Zahlen multipliziert, die kleiner als NNN sind?

Die Frage scheint einfach zu sein, aber ich kann mir nicht vorstellen, wie ich sie richtig zählen oder gar eine gute Schätzung abgeben kann. Ich finde die Antwort auch nicht.

Wir haben zwei ganze Zahlen$1 < a,b < N$, wie viele einzigartige Produkte von$a \cdot b$es gibt? Das könnte die mögliche Vereinfachung sein$N$ist auch eine Primzahl, da ich auch an einer guten Schätzung interessiert bin. Meine grundlegendere Frage ist es weniger als$O(N^2)$, aber die tatsächliche Anzahl scheint interessanter zu sein.

Dies scheint damit zusammenzuhängen, wie viele einzigartige Kombinationen von$n$Zahlen sind da, wenn man multipliziert$x$Zahlen? , obwohl der Antwortende dort eine Annahme macht, die meiner Meinung nach ein Killer ist, sind alle Produkte unterschiedlich (" es sei denn, sie müssen ", was meiner Meinung nach die Kommutativität der Multiplikation bedeutete). Die obige Aussage ist eindeutig falsch. Z.B$1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$oder$4 \cdot 4 = 2 \cdot 8$.$24$tauchte auch einige Male auf.

Was habe ich versucht:

Die offensichtliche Obergrenze ist$N^2$was eine klare Überschätzung ist (selbst wenn wir es aufgrund der Kommutativität durch 2 teilen) - wir können keine Verbindung mit Primzahlen erhalten$p_i$wie zum Beispiel$N < p_i < N^2$.

Mein Ansatz war, Primzahlen zu zählen und anzunehmen, dass alle möglichen Zahlen aus ihnen zusammengesetzt sind, die Antwort aus der zitierten Frage könnte dann verwendet werden, aber das ist auch nicht wahr. Bsp für$N=5$wir müssen behandeln$4$als ( Pseudo- )Primzahl zu bekommen$20$.

Ich kann nicht herausfinden, wie man Zahlen zählt, von denen ausgeschlossen werden soll$N^2$, oder welche einzubeziehen sind und wann. Ich hatte Idee, dass alle Zahlen größer als$\sqrt{N}$(oder vielleicht$N/2$) können als diese Pseudo-Primzahlen behandelt werden, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies der richtige Weg ist.