Wenn 5 ganze Zahlen gegeben sind, zeigen Sie, dass Sie zwei finden können, deren Summe oder Differenz durch 6 teilbar ist.

TIPP: Wenn zwei der Zahlen bei der Division durch den gleichen Rest haben$6$, ihre Differenz ist teilbar durch$6$, sodass Sie sich auf den Fall konzentrieren können, in dem alle fünf ganzen Zahlen bei der Division durch unterschiedliche Reste haben$6$. Versuchen Sie, das zu zeigen, egal welche der$6$mögliche Reste fehlen, müssen Sie zwei Zahlen haben, deren Summe ein Vielfaches von ist$6$.

Einfach.

Wie oben erwähnt, wenn Sie zwei verschiedene ganze Zahlen haben, die denselben Rest ergeben, wenn sie durch 6 geteilt werden, dann ist ihre Differenz durch 6 teilbar.

Betrachten Sie den Fall von ganzen Zahlen, die alle unterschiedliche Erinnerungen haben, wenn sie durch 6 geteilt werden. Es kann dann nur 6 Reste geben - 0,1,2,3,4,5. Es ist leicht zu erkennen, dass 1 + 5 = 6, was bedeutet, dass die Summe ganzer Zahlen, die Rest von 1 und 5 geben, wenn sie durch 6 geteilt werden, werden durch 6 teilbar sein, und 2+4 = 6, was bedeutet, dass die Summe ganzer Zahlen, die Rest von 2 und 4 ergeben, wenn sie durch 6 geteilt werden, durch 6 teilbar ist,

Da Sie aus den sechs möglichen Arten von Resten 5 ganze Zahlen auswählen müssen, können Sie sich beiden Paaren nicht entziehen. Daher wird mindestens eine Summe durch 6 QED teilbar sein

$a\equiv b\pmod{\! m}$bezeichnet '$a,b$Lassen Sie die gleichen Reste, wenn Sie durch dividieren$m$', oder$m\mid a-b$(siehe Modulare Arithmetik ).

$x^2\equiv \{0,1,3,4\}\pmod{\! 6}$für alle$x\in\Bbb Z$($\color{#0af}4$eventuelle Reste).

Um zu sehen, warum, quadratisch$6k,\, 6k\pm 1,\, 6k\pm 2,\, 6k+ 3$.

Lassen Sie Ihre ganzen Zahlen sein$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$($\color{#0af}{4}+1$ganze Zahlen).

Nach dem Schubladenprinzip bestehen$i\neq j$mit$a_i^2\equiv a_j^2\pmod{\! 6}$, oder dh$6\mid (a_i+a_j)(a_i-a_j)$

Angenommen für contr. Das$6\nmid a_i+a_j, a_i-a_j$. Dann WLOG$3\mid a_i+ a_j,\, 2\mid a_i- a_j$

Aber$a_i+ a_j=a_i- a_j+ 2a_j$, So$a_i+ a_j$ist sogar zu und$6\mid a_i+ a_j$, Gegenannahme.

Dies verwendete elementare Methoden, aber es verallgemeinert.$\,x^2\not\equiv 2$,$\,x^2\not\equiv -1$$\pmod{\! 6}$ist eine Folge der quadratischen Reziprozität , weil$3$(ein Primteiler von$6$) ist von der Form$8k+3$. Sie mussten also nicht quadrieren$0,\pm 1,\pm 2, 3$, das ist ordentlich, da die$6$hätte größer sein können.

Hinweis : Anstatt die kleinsten nicht negativen Reste mod$6$, verwenden Sie Reste vom kleinsten Absolutwert (z. B.$-2,-1,0,1,2,3$). Was kann man über zwei Zahlen mit gleichem Betrag sagen?