Zeigen Sie, dass es für jeden Satz von 201 positiven ganzen Zahlen kleiner als 300 zwei geben muss, deren Quotient eine Potenz von drei ist (ohne Rest)

Ich denke, wir sollten die nullte Potenz von 3 nicht berücksichtigen, weil sie gleich eins ist. Jede positive ganze Zahl ist ein Vielfaches von 1.

Lassen Sie uns die Menge S3 von ganzen Zahlen definieren, die Vielfache von 3 sind, streng kleiner als 300. Die Größe dieser Menge ist 99, weil 99 * 3 = 297.

Betrachten wir eine Teilmenge der Größe 201. 98 Ganzzahlen werden aus der Anfangsmenge geworfen. Aber wir können 98 aus S3 auswählen. Es bleibt also nur ein Element von S3 übrig. Wo liege ich falsch?

Du liegst nicht falsch. Aber wenn der Satz von 201 Ganzzahlen enthalten nur ein Vielfaches von 3 , sagen 3 N , dann enthält es auch N , enthält also zwei Zahlen, deren Quotient ist 3 .
Ich bin mir nicht sicher, ob es hilft, weil ich deine Argumentation nicht verstehe, aber { 1 , 2 } ∪ { N : 100 ≤ N ≤ 299 } ist ein Beispiel für eine Menge von 201 Elementen, von denen keine zwei einen Quotienten von haben 3 , also brauchen Sie wirklich die Bedingung "Potenz von 3".

Antworten (1)

HINWEIS: Jede ganze Zahl in der Menge { 1 , 2 , … , 299 } kann eindeutig in das Formular geschrieben werden 3 M N , Wo M ≥ 0 , N ≥ 1 , Und N ist kein Vielfaches von 3 . Dass es welche gibt, hast du ja schon gezeigt 200 Auswahlmöglichkeiten für N . Für jeden dieser Werte von N lassen

A N = { 3 M N : M ≥ 0  Und  3 M N < 300 } ;

Die Sätze A N sind eine Partition von { 1 , 2 , … , 299 } hinein 200 Teile. Wenden Sie jetzt das Schubladenprinzip an.

Ich denke, das Problem impliziert, dass es zwei unterschiedliche Potenzen von 3 geben muss. Ich denke also, dass 1 in der Menge S3 enthalten sein sollte. Richtig?
@user1745356: Nein: 1 ist kein Vielfaches von 3 . Auf jeden Fall sind es nicht wirklich die Vielfachen von 3 die wichtig sind: es sind die Nicht-Vielfachen von 3 – oder vielmehr die Tatsache, dass es nur gibt 200 von ihnen.
Ich meinte, dass jede ganze Zahl ein Vielfaches der nullten Potenz von 3 ist, weil 3^0=1. Unter 201 ganzen Zahlen muss also mindestens 1 ganze Zahl sein, die ein Vielfaches von 3^j ist, wobei j > 0. Und wir können jede andere ganze Zahl auswählen, sogar eine Primzahl, weil sie ein Vielfaches von 1 ist und 1 eine nullte Potenz von 3 ist diese Überlegung richtig?
@ user1745356: Ich fürchte nicht: die Tatsache, dass 1 ist eine Macht von 3 ist einfach nicht relevant für das Problem. Sie achten nicht auf den Hinweis, den ich gegeben habe. Du hast 200 setzt A N Und 201 Nummern, von denen jede in einem der Sätze ist A N ; was sagt dir das schubladenprinzip?
Es stellt sich heraus, dass ich das Problem völlig falsch verstanden habe. Ich habe versucht, zwei Zahlen in der Menge zu finden, die ein Vielfaches von 3 sind. Danke.
@ user1745356: Ah, okay; das erklärt, warum es sich anfühlte, als wären wir ein bisschen aneinander vorbei! Gern geschehen.
Zeigen Sie, dass es für jeden Satz von 201 positiven ganzen Zahlen kleiner als 300 zwei geben muss, deren Quotient eine Potenz von drei ist (ohne Rest)
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