Existenz einer Teilmenge, so dass das Produkt seiner Elemente ein perfektes Quadrat ist

Vermuten$S \subset \{1,2,3,\ldots, 200\}$solch$|S|=50$. Beweisen Sie, dass es eine nicht leere Teilmenge von gibt$S$so dass das Produkt seiner Elemente ein perfektes Quadrat ist.

Ich habe eine Lösung, aber ich möchte wissen, ob es einen Fehler gibt, weil ich denke, wir könnten diese Frage auch mit einer Schublade lösen, und vielleicht ist es der einzige Weg, aber ich habe Widerspruch verwendet. Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie mir helfen könnten, meine Lösung zu überprüfen, danke.

Angenommen, das Gegenteil ist nicht wahr, daher gibt es keine nicht leere Teilmenge von$S$das Produkt seiner Elemente ist ein perfektes Quadrat. Wenn$A \subset S$, bezeichnen wir das Produkt seiner Elemente mit$\prod A$. Nun nehme an$P_1,P_2,\ldots,P_{46}$sind die Primzahlen kleiner als$200$. Also für jede Teilmenge von$S$,$\prod A$hat die$P_1^{\alpha_1}P_2^{\alpha_2} \cdots P_{46}^{\alpha_{46}}$form. Definiere die Karte$L: \prod A \to (b_1,b_2,\ldots,b_{46})$so dass$b_i=0 \iff \alpha_i \equiv 0 \pmod{2}$Und$b_i=1 \iff \alpha_i \equiv 1 \pmod{2}$. Da es nun keine Teilmenge wie z$\prod A$ein perfektes Quadrat ist, gibt es immer ein$\alpha_i$so dass es eine ungerade Zahl ist. Wir wissen für unsere Karte, wir haben höchstens$2^{46}$Werte, und seit$2^{46} \le 2^{50}-1$, gibt es zwei unterschiedliche nicht leere Teilmengen$A,B \subset S$solch$L (\prod A) = L (\prod B)$.Jetzt können wir schreiben