Hat die Collatz-Regel 3x+53x+53x+5 eine Verzerrung für bestimmte Schleifen oder sind meine Ergebnisse fehlerhaft?

Question

Hat die Collatz-Regel 3x+53x+53x+5 eine Verzerrung für bestimmte Schleifen oder sind meine Ergebnisse fehlerhaft?

Mathematik
Kombinatorik
Zahlentheorie
Collatz-Vermutung

Griffon-Theoretiker697

Vor nicht allzu langer Zeit habe ich eine modifizierte Collatz-Regel studiert, wo

F (X) = {\begin{cases} 3 X + 5, & Wenn X ist ungerade \\ X / 2, & Wenn X ist gerade \end{cases}

$f(x)= \begin{cases} 3x+5, & \text{if $x$ is odd} \\ x/2, & \text{if $x$ is even} \end{cases}$

durch Beobachtung der Trajektorien von $n$ mit einem Code, den ich geschrieben habe. Der Code würde die Flugbahn jedes Samens oder jeder Startnummer berechnen $n$ mit ... anfangen $1$ bis die Flugbahn eine Schleife erreichte. Der Code speichert dann die Schleife in einer Tabelle und wiederholt den Vorgang für $n+1$ bis einige definierte Grenze für $n$ wurde erreicht. Die resultierende Tabelle enthält jede Startnummer und die Schleifen, in denen jede dieser Nummern endete. Ich habe die ursprünglichen Trajektorien nicht in der Tabelle aufgezeichnet.

In diesem Google-Dokument habe ich Kreisdiagramme für die Stichprobengrößen 100, 1.000, 10.000, 100.000 und 1.000.000 erstellt.

Die Ergebnisse wurden erzielt, indem eine Stichprobengröße bis zu einer bestimmten Zahl definiert wurde, alle Zahlen basierend auf der Schleife sortiert wurden, in die ihre Trajektorien eingetreten sind, und dann Verhältnisse für diese Beziehungen erstellt wurden.

Hier ist ein Link zu den Rohdaten, die mein Code generiert hat:

https://drive.google.com/drive/folders/0BzfYa_--3heeNkVpd1NPd090aDA?usp=sharing

(Hinweis: Das Anzeigen der Stichprobengröße von 10.000 hat bei mir problemlos funktioniert, Sie müssten jedoch die Stichprobengrößen 100.000 und 1.000.000 herunterladen, um sie anzuzeigen.)

Die Ergebnisse zeigen, dass die Prozentsätze von Probe zu Probe ziemlich variieren, aber im allgemeinen Schema der Dinge scheinen die Daten einigermaßen konsistent zu sein. Zum Beispiel zeigen meine Daten, dass die 19-Schleife das Ende von ungefähr der Hälfte der Flugbahnen der Zahlen in den Proben ist. Nur ein Prozentsatz änderte sich nie von Probe zu Probe; Wenig überraschend bestand die 20-10-5-Schleife aus 1/5 aller getesteten Werte.

Ich bin mir nicht sicher, ob diese „Schleifenverzerrung“, die ich beobachtet habe, eine Folge davon ist, dass man sich zunächst auf eine Stichprobengröße verlassen hat, ein menschlicher/Code-Fehler, oder ob es eine mathematische Erklärung dafür gibt, warum bestimmte Schleifen beliebter sind als andere. Ich habe ein paar Ideen, warum eine gewisse Voreingenommenheit auftritt, bin mir jedoch nicht sicher, hauptsächlich weil meine Ideen stark auf Spekulationen beruhen, von denen ich nicht weiß, wie ich sie formal beweisen soll.

EDIT: Hier sind die Schleifen in der Reihenfolge ihres Erscheinens:

[1, 8, 4, 2, 1]
[19, 62, 31, 98, 49, 152, 76, 38, 19]
[5, 20, 10, 5]
[23, 74, 37, 116, 58, 29, 92, 46, 23]
[187, 566, 283, 854, 427, 1286, 643, 1934, 967, 2906, 1453, 4364, 2182, 1091, 3278, 1639, 4922, 2461, 7388, 3694, 1847, 5623, 4123, 8 , 2081, 6248, 3124, 1562, 781, 2348, 1174, 587, 1766, 883, 2654, 1327, 3986, 1993, 5984, 2992, 1496, 748, 374, 187]
[347, 1046, 523, 1574, 787, 2366, 1183, 3554, 1777, 5336, 2668, 1334, 667, 2006, 1003, 3014, 1507, 4526, 2263, 6794, 3397, 5019 , 3826, 1913, 5744, 2872, 1436, 718, 359, 1082, 541, 1628, 814, 407, 1226, 613, 1844, 922, 461, 1388, 694, 347]

BEARBEITEN 2:

Ich stimme zu, dass kleinere Zahlen für die Verzerrung der Daten verantwortlich sein können. Daher habe ich die Stichprobengröße 100.000 bis 1.000.000 ausgewählt, um diese Theorie zu testen. Ich habe die Ergebnisse mit den anderen Tortendiagrammen in das ursprüngliche Google Doc hochgeladen.

Ich war überrascht zu finden, nun, das gleiche Diagramm. Die Verhältnisse waren wie üblich etwas anders, aber abgesehen davon bin ich mir nicht sicher, ob dieser Test die Hypothese entlarvt oder das Problem der kleinen Zahl wiederholt. Ich könnte verschiedene Stichprobengrößen ausprobieren, aber ich weiß nicht, ob das eine gute Idee ist oder nicht.

Um einen Einblick in das zu geben, was meiner Meinung nach vor sich geht, zeige ich Ihnen eine digitale Version einiger Notizen, die ich skizziert habe, und erkläre, woher meine Spekulationen stammen.

Im Mai zeichnete ich einige Skizzen von Bäumen und machte einige Spekulationen über das, was ich beobachtete. Ich nahm an, wenn eine Schleife einen Zweig oder ein Ende hätte, das von den ursprünglichen geraden Zahlen in der Schleife kommt, dann würde die Schleife mit mehr Zahlen verbunden sein. Ich bin auch von kleineren geraden Vielfachen ausgegangen (if $n$ ungerade ist, dann ist ein gerades Vielfaches $n*2^a$ , Wo $a$ ein beliebiger Wert ist) Verzweigung auf Vielfache von drei "eingeschränkt" die Größe der Schleifen.

Natürlich ist keine dieser Aussagen objektiv, geschweige denn beweisbar. Ich wollte sie teilen, falls irgendwelche interessanten mathematischen Muster auftreten oder wenn diese Informationen Licht auf irgendetwas werfen ...

Hier ist eine digitale Version meiner Skizzen.

Hinweis: Die Bäume werden mit der "umgekehrten Collatz-Methode" oder " ${(n-1)}/{3}$ , oder in diesem Fall eine angepasste Version dieser Methode. Zu teilen $n$ bei 2, gehe eine Zahl nach links. Multiplizieren $n$ durch 3 und füge 5 hinzu, finde das untere Ende des "T", das auf die nächste gerade Zahl zeigt.

Warnung: Ich habe dies einem Freund gezeigt und die Baumskizze hat sie verwirrt. Wenn Sie diese Skizze verwirrend finden, lassen Sie es mich wissen und ich werde das Ganze stattdessen mit Pfeilen neu zeichnen.

Taste:

Wenn sich eine gerade Zahl verzweigt, steht darüber ein „T“. Die erste ungerade Zahl auf dem „T“ ist die resultierende ungerade Zahl nach dem Auftragen ${(n-5)}/{3}$ . Die folgenden geraden Zahlen sind die geraden Vielfachen der ungeraden Zahl. (Beispiel: In der 19-Schleife hat 38 ein "T" darüber. 11 ist die resultierende ungerade Zahl, und die geraden Zahlen nach 11 sind $11*2^1$ , $11*2^2$ , $11*2^3$ , ...
Blaue Zahlen sind Mitglieder einer Schleife.
Rote Zahlen gefolgt von einem „Nein“-Zeichen sind Vielfache von 3.
Lila "T"s verbinden die Schleife.
Grüne "T"s betonen den zusätzlichen "Schwanz" oder Zweig.
Orange "T"s betonen, wo ein Schwanz hätte sein können, aber die Zahl verzweigte sich stattdessen zu einem Vielfachen von 3.
Pfeile verbinden die getrennten Enden der Schleife.
"..." werden verwendet, um nicht gezeigte Zahlen zu übermitteln.

Ich habe die Skizze farblich gekennzeichnet, um die Aufmerksamkeit auf bestimmte Eigenschaften zu lenken. Ich dachte, es würde das Verständnis erleichtern.

Gottfried Helms

Zwei Kommentare. Zuerst fand ich

6

$6$ Schleifen, die jeweils durch einen der Werte gekennzeichnet sind

1, 5, 19, 29, 187, 541

$1,5,19,29,187,541$ . Zweitens denke ich, dass die relative Häufigkeit der Schleifen möglicherweise von der Länge abhängt

N

$N$ der Schleifen (gemessen in der Anzahl der ungeraden Zahlen, wodurch a

N

$N$ 'te Potenz von 3 in seiner "charakteristischen" Formel. Aber ich bin mir da nicht ganz sicher, habe die Formeln noch nicht wirklich erweitert ...

Griffon-Theoretiker697

Vielen Dank für den Hinweis, ich habe die letzten beiden Schleifen falsch beschriftet und behoben. Zweitens habe ich mich in der Vergangenheit damit befasst, und überraschenderweise scheinen die längeren Schleifen insgesamt weniger Zahlen zu enthalten. Ich habe die Schleifen in einem Baum gezeichnet und festgestellt, dass die meisten ungeraden Zahlen in den größeren Schleifen zu Sackgassen führen. Ich vermute auch, dass die Verwendung einer Stichprobengröße oder kleinerer Zahlen die Ergebnisse verfälscht.

Gottfried Helms

Nur aus Neugier: Was ist hier eine "Sackgasse"?

Griffon-Theoretiker697

Es tut mir leid, dass ich eine Weile gebraucht habe, um zu antworten. Ich überprüfte einige meiner Notizen noch einmal und stellte fest, dass ich zu viel spekuliert hatte, was ich fand, und vor allem musste ich die Bäume zeigen, die ich gezeichnet hatte. Ich brauche mehr Zeit, um die beiden größeren Schleifen zu zeichnen, aber ich werde einen Link zu meinen Illustrationen hinterlassen. Um Ihre Frage zu beantworten, eine "Sackgasse" ist einfach eine Zahl, die sich zu einem Vielfachen von 3 verzweigt, aber ich hatte die falsche Vorstellung im Sinn, als ich sagte: "... die meisten ungeraden Zahlen in den großen Schleifen führen zu Sackgassen. .."

Gottfried Helms

"... die Sackgasse ..." - nun, das wäre offensichtlich, wenn ich wüsste, dass Ihre Bäume eine "Rückwärts" -Transformation sind. Ich habe darüber spekuliert, war mir aber nach Ihren Erklärungen nicht sicher. Danke für die Klarstellung und Komplimente für dein vorsichtiges und ernsthaftes Manövrieren im Chaos... :-)

Gottfried Helms

Ich habe einen Blick in die Verallgemeinerung dazu getan

3 x + r

$3x+r$ die Vorkommen und relativen Häufigkeiten von Zyklen. Es ist im Moment ein Entwurf, aber vielleicht hilft es, "Augen zu öffnen" - zumindest für mich hat es das Studium getan. Bei Interesse siehe go.helms-net.de/math/collatz/Collatz_3x_r.pdf Ich werde weiter daran arbeiten (auch um es lesbarer zu machen) Ich denke, ich kann jetzt besser auf das spezifische Frequenzproblem zurückkommen nachdem er mit diesen neuen Erkenntnissen bewaffnet war.

Griffon-Theoretiker697

Wenn ich mir das pdf anschaue, finde ich es wirklich interessant, dass Primzahlen zur Bildung von Schleifen beitragen (

a / 5

$a/5$ = mehr Schleifen?). Sobald ich meinen weitaus weniger beeindruckenden Code zum Laufen gebracht habe, werde ich weiter die verschiedenen Schleifen des modifizierten Codes studieren

3 x + a

$3x+a$ Regeln, um zu sehen, ob ich herausfinden kann, warum

3 x + 5

$3x+5$ hat mehr Schleifen als

3 x + 7

$3x+7$ , oder warum sich diese Schleifen überhaupt bilden. Ich habe schon ein paar Dinge herausgefunden, wie zum Beispiel eine der Ursachen für die Loop-Länge psssst, es ist ein Geheimnis! , aber abgesehen davon werde ich viel länger brauchen, um etwas Neues zu finden. Ich bin gespannt, was wir finden!

Gottfried Helms

btw.: kleine Aktualisierung des Textes

Gottfried Helms

Ein Argument, warum

3 x + 5

$3x+5$ hat mehr Zyklen als

3 x + 7

$3x+7$ wird in den Formeln 6.b) und 6.c) sichtbar. Annehmen

2^{S} - 3^{N} = p

$2^S-3^N=p$ ist prim. Da es sich im Nenner um den Zähler bzw

r

$r$ muss diesen Primfaktor enthalten, damit

a_{1}

$a_1$ kann ganzzahlig sein. Also lass

S = 5, N = 3

$S=5,N=3$ dann haben wir

32 - 27 = p = 5

$32-27=p=5$ . Nun lass

r = 5

$r=5$ Dann alle Vektoren

E_{N, S}

$E_{N,S}$ die nicht einfach Drehungen sind, ergeben Zyklen:

[1, 1, 3]

$[1,1,3]$ ,

[1, 2, 2]

$[1,2,2]$ Dies geschieht mit

2^{S} - 3^{N} = p = 5 = r

$2^S-3^N=p=5=r$ .

2^{S} - 3^{N} = p = 7

$2^S-3^N=p=7$ gibt

N = 2, S = 4

$N=2,S=4$ und die einzigen Kombinationen von

E_{N, S}

$E_{N,S}$ Sind

[1, 3]

$[1,3]$ ,

[2, 2]

$[2,2]$ . Aber

[2, 2]

$[2,2]$ ergibt den trivialen Zyklus, also haben wir einen Zyklus weniger. Man kann darin tiefer gehen

mercio

etwas verwandt: math.stackexchange.com/questions/2241758/…

G Tony Jacobs

@GriffonTheorist697, ich habe aus diesem Blickwinkel ziemlich viel am Collatz-Problem gearbeitet, und ich glaube, ich kann einige Ihrer Fragen beantworten. Ich möchte mich mit Ihnen austauschen. Wären Sie bereit, außerhalb der MSE zu korrespondieren?

G Tony Jacobs

@GottfriedHelms, wenn Sie auch Notizen vergleichen möchten, würde ich gerne mit jedem korrespondieren, der diesen Aspekt des Collatz-Problems untersucht.

Gottfried Helms

@GTonyJacobs: Darüber würde ich mich auch gerne mal austauschen - bin aber bis September nur mit Hotelaccount im Urlaub und kann nur wahllos an Mathe denken und schreiben. Aber danach, denke ich, können wir eine Kommunikationslinie aufbauen.

Griffon-Theoretiker697

@GTonyJacobs Ich freue mich, meine Notizen zu Meta zu teilen, aber ich weiß nicht, wie ich das am besten tun soll. Außerdem werden Sie meine Notizen vielleicht enttäuschend finden, nur weil mein Mangel an formaler mathematischer Ausbildung extrem offensichtlich wird.

G Tony Jacobs

Nun, ich habe eine Vermutung bezüglich der Antwort auf diese Frage, aber es wird etwas Codierung erfordern, um sie zu überprüfen. Ich habe Code in Python, der diese Art von Berechnungen durchführt, aber ich bin der Erste, der zugibt, dass ich kein Programmierexperte bin. Ich bin mir nicht sicher, wie ich am besten kommunizieren soll. Ich gebe Ihnen meine E-Mail-Adresse, wenn Sie damit einverstanden sind.

G Tony Jacobs

Machen Sie sich keine Sorgen über mangelnde formale Ausbildung. Ich habe auch Ergebnisse mit Collatz erzielt, bevor ich eine formelle Ausbildung hatte. Wenn Sie auf der Spur sind, sind Sie auf der Spur, und ich bin glücklich, mit Ihnen zu jagen.

Griffon-Theoretiker697

@GTonyJacobs Ich habe beim Meta-Support nachgefragt und sie sagten, wir können Meta nicht verwenden, um Notizen zu teilen. Sie haben jedoch vorgeschlagen, dass Sie einen Chatroom eröffnen können. Möchten Sie ein Google-Laufwerk freigeben und stattdessen Notizen hinzufügen? Ich kann Personen über Gmail in den Drive-Ordner einladen.

G Tony Jacobs

Was auch immer funktioniert. Ich habe einige Sachen in einem pdf, die ich irgendwo hochladen könnte.

Griffon-Theoretiker697

@GTonyJacobs Ich habe einen Google-Ordner erstellt, um Notizen zu teilen. Um darauf zugreifen zu können, benötige ich Ihr Gmail-Konto, um es mit Ihnen zu teilen. Bitte senden Sie es an catgriffon3@gmail.com

Antworten (2)

Hat die Collatz-Regel 3x+53x+53x+5 eine Verzerrung für bestimmte Schleifen oder sind meine Ergebnisse fehlerhaft?

Zwei Kommentare. Zuerst fand ich $6$ Schleifen, die jeweils durch einen der Werte gekennzeichnet sind $1,5,19,29,187,541$ . Zweitens denke ich, dass die relative Häufigkeit der Schleifen möglicherweise von der Länge abhängt $N$ der Schleifen (gemessen in der Anzahl der ungeraden Zahlen, wodurch a $N$ 'te Potenz von 3 in seiner "charakteristischen" Formel. Aber ich bin mir da nicht ganz sicher, habe die Formeln noch nicht wirklich erweitert ...
Vielen Dank für den Hinweis, ich habe die letzten beiden Schleifen falsch beschriftet und behoben. Zweitens habe ich mich in der Vergangenheit damit befasst, und überraschenderweise scheinen die längeren Schleifen insgesamt weniger Zahlen zu enthalten. Ich habe die Schleifen in einem Baum gezeichnet und festgestellt, dass die meisten ungeraden Zahlen in den größeren Schleifen zu Sackgassen führen. Ich vermute auch, dass die Verwendung einer Stichprobengröße oder kleinerer Zahlen die Ergebnisse verfälscht.
Es tut mir leid, dass ich eine Weile gebraucht habe, um zu antworten. Ich überprüfte einige meiner Notizen noch einmal und stellte fest, dass ich zu viel spekuliert hatte, was ich fand, und vor allem musste ich die Bäume zeigen, die ich gezeichnet hatte. Ich brauche mehr Zeit, um die beiden größeren Schleifen zu zeichnen, aber ich werde einen Link zu meinen Illustrationen hinterlassen. Um Ihre Frage zu beantworten, eine "Sackgasse" ist einfach eine Zahl, die sich zu einem Vielfachen von 3 verzweigt, aber ich hatte die falsche Vorstellung im Sinn, als ich sagte: "... die meisten ungeraden Zahlen in den großen Schleifen führen zu Sackgassen. .."
"... die Sackgasse ..." - nun, das wäre offensichtlich, wenn ich wüsste, dass Ihre Bäume eine "Rückwärts" -Transformation sind. Ich habe darüber spekuliert, war mir aber nach Ihren Erklärungen nicht sicher. Danke für die Klarstellung und Komplimente für dein vorsichtiges und ernsthaftes Manövrieren im Chaos... :-)
Ich habe einen Blick in die Verallgemeinerung dazu getan $3x+r$ die Vorkommen und relativen Häufigkeiten von Zyklen. Es ist im Moment ein Entwurf, aber vielleicht hilft es, "Augen zu öffnen" - zumindest für mich hat es das Studium getan. Bei Interesse siehe go.helms-net.de/math/collatz/Collatz_3x_r.pdf Ich werde weiter daran arbeiten (auch um es lesbarer zu machen) Ich denke, ich kann jetzt besser auf das spezifische Frequenzproblem zurückkommen nachdem er mit diesen neuen Erkenntnissen bewaffnet war.
Wenn ich mir das pdf anschaue, finde ich es wirklich interessant, dass Primzahlen zur Bildung von Schleifen beitragen ( $a/5$ = mehr Schleifen?). Sobald ich meinen weitaus weniger beeindruckenden Code zum Laufen gebracht habe, werde ich weiter die verschiedenen Schleifen des modifizierten Codes studieren $3x+a$ Regeln, um zu sehen, ob ich herausfinden kann, warum $3x+5$ hat mehr Schleifen als $3x+7$ , oder warum sich diese Schleifen überhaupt bilden. Ich habe schon ein paar Dinge herausgefunden, wie zum Beispiel eine der Ursachen für die Loop-Länge psssst, es ist ein Geheimnis! , aber abgesehen davon werde ich viel länger brauchen, um etwas Neues zu finden. Ich bin gespannt, was wir finden!
Ein Argument, warum $3x+5$ hat mehr Zyklen als $3x+7$ wird in den Formeln 6.b) und 6.c) sichtbar. Annehmen $2^S-3^N=p$ ist prim. Da es sich im Nenner um den Zähler bzw $r$ muss diesen Primfaktor enthalten, damit $a_1$ kann ganzzahlig sein. Also lass $S=5,N=3$ dann haben wir $32-27=p=5$ . Nun lass $r=5$ Dann alle Vektoren $E_{N,S}$ die nicht einfach Drehungen sind, ergeben Zyklen: $[1,1,3]$ , $[1,2,2]$ Dies geschieht mit $2^S-3^N=p=5=r$ . $2^S-3^N=p=7$ gibt $N=2,S=4$ und die einzigen Kombinationen von $E_{N,S}$ Sind $[1,3]$ , $[2,2]$ . Aber $[2,2]$ ergibt den trivialen Zyklus, also haben wir einen Zyklus weniger. Man kann darin tiefer gehen
etwas verwandt: math.stackexchange.com/questions/2241758/…
@GriffonTheorist697, ich habe aus diesem Blickwinkel ziemlich viel am Collatz-Problem gearbeitet, und ich glaube, ich kann einige Ihrer Fragen beantworten. Ich möchte mich mit Ihnen austauschen. Wären Sie bereit, außerhalb der MSE zu korrespondieren?
@GottfriedHelms, wenn Sie auch Notizen vergleichen möchten, würde ich gerne mit jedem korrespondieren, der diesen Aspekt des Collatz-Problems untersucht.
@GTonyJacobs: Darüber würde ich mich auch gerne mal austauschen - bin aber bis September nur mit Hotelaccount im Urlaub und kann nur wahllos an Mathe denken und schreiben. Aber danach, denke ich, können wir eine Kommunikationslinie aufbauen.
@GTonyJacobs Ich freue mich, meine Notizen zu Meta zu teilen, aber ich weiß nicht, wie ich das am besten tun soll. Außerdem werden Sie meine Notizen vielleicht enttäuschend finden, nur weil mein Mangel an formaler mathematischer Ausbildung extrem offensichtlich wird.
Nun, ich habe eine Vermutung bezüglich der Antwort auf diese Frage, aber es wird etwas Codierung erfordern, um sie zu überprüfen. Ich habe Code in Python, der diese Art von Berechnungen durchführt, aber ich bin der Erste, der zugibt, dass ich kein Programmierexperte bin. Ich bin mir nicht sicher, wie ich am besten kommunizieren soll. Ich gebe Ihnen meine E-Mail-Adresse, wenn Sie damit einverstanden sind.
Machen Sie sich keine Sorgen über mangelnde formale Ausbildung. Ich habe auch Ergebnisse mit Collatz erzielt, bevor ich eine formelle Ausbildung hatte. Wenn Sie auf der Spur sind, sind Sie auf der Spur, und ich bin glücklich, mit Ihnen zu jagen.
@GTonyJacobs Ich habe beim Meta-Support nachgefragt und sie sagten, wir können Meta nicht verwenden, um Notizen zu teilen. Sie haben jedoch vorgeschlagen, dass Sie einen Chatroom eröffnen können. Möchten Sie ein Google-Laufwerk freigeben und stattdessen Notizen hinzufügen? Ich kann Personen über Gmail in den Drive-Ordner einladen.
Was auch immer funktioniert. Ich habe einige Sachen in einem pdf, die ich irgendwo hochladen könnte.
@GTonyJacobs Ich habe einen Google-Ordner erstellt, um Notizen zu teilen. Um darauf zugreifen zu können, benötige ich Ihr Gmail-Konto, um es mit Ihnen zu teilen. Bitte senden Sie es an catgriffon3@gmail.com

Gottfried Helms · Answer 1

Dies ist noch keine Antwort, nur ein Kommentar zur weiteren Veranschaulichung

Teil 1 - Tabelle einiger Eigenschaften der $6$ bekannte Zyklen.

update - eine etwas längere Ausstellung und eine längere Tabelle auf meiner Homepage

Erste Spalte: $a_\min$ als kleinstes Element eines Zyklus
zweite Spalte: relative Häufigkeit des Zyklustyps als Trajektorienende. Nur ungerade Zahlen $a_1=1$ Zu $a_1=999 999$ wurden getestet.
Dritte Spalte: $N$ ist die Länge des Zyklus (ungerade Zahlen $a_k$ werden nur gezählt)
Vierte Spalte: $S$ ist Summe von Exponenten $A_k$ (siehe unten) oder "Anzahl der Halbierungsschritte"
Fünfte Spalte: Die Übertragungsfunktion sei zwischen ungeraden Zahlen definiert $a \to b$ . Dann $b = (3a+5)/2^A$ . Der gegebene Vektor ist der Vektor der Exponenten $A_k$ einer Bahn der Länge $N$ .
Für eine bestimmte Länge $N$ es kann mehr als ein Vektor möglich sein - nicht nur durch Rotation (die zyklisch die Mitglieder eines Zyklus ergibt), sondern neben den reinen Rotationen auch durch andere Kombinationen mit demselben $(N,S)$ was dann wahre unterschiedliche Zyklen ergibt.

Tabelle 3x+5:

a_min   rel freq% N  S  vector of exponents
----------------------------------------
  5     20.0000   1  2  [2]            "trivial cycle"
  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
  1     14.0844   1  3  [3]           because 3*1+r=8=2^3 -> 1

 19     49.6780   3  5  [1, 1, 3]
 29      9.2606   3  5  [2, 1, 2]

187      3.2618  17 27  [1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 5]
347      3.7152  17 27  [1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 1, 2, 2]

Beachten Sie, dass eine sehr ähnliche Struktur für auftritt $3x+7$ Und $3x+13$ und etc. Problem. Zum Beispiel für die $3x+13$ wir erhalten die folgende Tabelle

Tabelle 3x+13:

  a min   relfreq%  N    S   vector                     
  --------------------------------------------------------------------- 
    13  7.692000    1    2  [2]               "trivial cycle"
  ---------------------------------------------------------- 
     1 47.550000    1    4  [4]               // 3*1 + r = 2^4 -> 1 
   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   -   - 
   211  3.334000    5    8  [1, 1, 1, 1, 4]   // 2^8 - 3^5 = 13 = r 
   259  3.934000    5    8  [1, 1, 1, 3, 2] 
   227  1.880000    5    8  [1, 1, 1, 2, 3] 
   287  4.380000    5    8  [1, 2, 1, 1, 3]  
   251  1.958000    5    8  [1, 1, 2, 1, 3] 
   283  2.506000    5    8  [1, 1, 2, 2, 2] 
   319  1.424000    5    8  [1, 2, 1, 2, 2] 

   131 25.342000   15   24  [1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 5]

Teil 2 - Annäherung an das Problem unterschiedlicher relativer Häufigkeiten

Ich betrachte den Rückwärtsbaum beginnend mit dem Zykluselement $19$ vs. ab dem Zyklus-Element $29$ Hier der Schlüssel für die größere Häufigkeit des Auftretens der $19$ -Zyklus scheint zu sein, dass die Rückwärtstransformationen die kleineren (ungeraden) Zahlen im Vergleich zu denen des abdecken $29$ -Zyklus - was bedeutet, dass sich die kleineren Zahlen in den verwandeln $19$ -Zyklus im Vergleich zum $29$ -Zyklus durch die $(3x+5)/2^A$ -Karte. Ich kann dies für die relativen Häufigkeiten unterhalb einer festen Obergrenze nicht wirklich formalisieren $N$ im Moment, aber es könnte eine gute Intuition geben ...

Die Darstellung in einer Zeile ist wie folgt:

a_parent   [vector A]

Vektor $A$ ist hier der (unendliche) Vektor aller Zahlen $a_k$ hinunter zu gehen $a_\text{parent}$ durch eine Transformation: $a_\text{parent}=(3a_k+5)/2^B$ . Natürlich jedes Element von $A$ (außer denen, die durch teilbar sind $3$ ) Eltern eines anderen Vektors sind $AA$ . Die ersten paar dieser Einträge sind dann in der folgenden Zeile dokumentiert, eingerückt durch weitere Leerzeichen.

Ich habe diesen rekursiven Baum gedruckt, der auch einen zyklischen Unterbaum von recursion-cycle of hat $3$ , zu einer Tiefe zu $5$ . Um den Aspekt zu betonen, dass viele kleine Zahlen enthalten sind, habe ich Eltern weggelassen, die größer sind als $1000$ und auch ihre Teilbäume, obwohl dies möglicherweise nicht ganz korrekt ist, da sie selbst Eltern haben können, die kleiner als sind $1000$ - aber das habe ich beiseite gelassen.

Der Baum basiert auf dem Zykluselement $19$ hat viel mehr kleine Zahlen als der Baum, der auf dem Zykluselement basiert $29$ .

meinbaum(19,5)

 31 [19, 81, 329, 1321, 5289, 21161, "..."]
    19 [11, 49, 201, 809, 3241, 12969, "..."]
        11 [13, 57, 233, 937, 3753, 15017, "..."]
            13 [7, 33, 137, 553, 2217, 8873, "..."]
                7 [3, 17, 73, 297, 1193, 4777, "..."]
                    17 [21, 89, 361, 1449, 5801, 23209, "..."]
                    73 [47, 193, 777, 3113, 12457, 49833, "..."]
                    ... [ ...]
                137 [181, 729, 2921, 11689, 46761, 187049, "..."]
                    181 [119, 481, 1929, 7721, 30889, 123561, "..."]
                    ... [ ...]
                553 [367, 1473, 5897, 23593, 94377, 377513, "..."]
                    367 [243, 977, 3913, 15657, 62633, 250537, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            233 [309, 1241, 4969, 19881, 79529, 318121, "..."]
                ... [ ...]
            937 [623, 2497, 9993, 39977, 159913, 639657, "..."]
                623 [829, 3321, 13289, 53161, 212649, 850601, "..."]
                    829 [551, 2209, 8841, 35369, 141481, 565929, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        49 [31, 129, 521, 2089, 8361, 33449, "..."]
            31 [19, 81, 329, 1321, 5289, 21161, "..."]
                19 [11, 49, 201, 809, 3241, 12969, "..."]
                    11 [13, 57, 233, 937, 3753, 15017, "..."]
                    49 [31, 129, 521, 2089, 8361, 33449, "..."]
                    809 [1077, 4313, 17257, 69033, 276137, 1104553, "..."]
                    ... [ ...]
                329 [437, 1753, 7017, 28073, 112297, 449193, "..."]
                    437 [581, 2329, 9321, 37289, 149161, 596649, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            521 [693, 2777, 11113, 44457, 177833, 711337, "..."]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        809 [1077, 4313, 17257, 69033, 276137, 1104553, "..."]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    329 [437, 1753, 7017, 28073, 112297, 449193, "..."]
        437 [581, 2329, 9321, 37289, 149161, 596649, "..."]
            581 [773, 3097, 12393, 49577, 198313, 793257, "..."]
                773 [1029, 4121, 16489, 65961, 263849, 1055401, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    ... [ ...]

meinbaum(29,5)

 23 [29, 121, 489, 1961, 7849, 31401, "..."]
    29 [37, 153, 617, 2473, 9897, 39593, "..."]
        37 [23, 97, 393, 1577, 6313, 25257, "..."]
            23 [29, 121, 489, 1961, 7849, 31401, "..."]
                29 [37, 153, 617, 2473, 9897, 39593, "..."]
                    37 [23, 97, 393, 1577, 6313, 25257, "..."]
                    617 [821, 3289, 13161, 52649, 210601, 842409, "..."]
                    ... [ ...]
                121 [79, 321, 1289, 5161, 20649, 82601, "..."]
                    79 [51, 209, 841, 3369, 13481, 53929, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            97 [63, 257, 1033, 4137, 16553, 66217, "..."]
                257 [341, 1369, 5481, 21929, 87721, 350889, "..."]
                    341 [453, 1817, 7273, 29097, 116393, 465577, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        617 [821, 3289, 13161, 52649, 210601, 842409, "..."]
            821 [1093, 4377, 17513, 70057, 280233, 1120937, "..."]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    121 [79, 321, 1289, 5161, 20649, 82601, "..."]
        79 [51, 209, 841, 3369, 13481, 53929, "..."]
            209 [277, 1113, 4457, 17833, 71337, 285353, "..."]
                277 [183, 737, 2953, 11817, 47273, 189097, "..."]
                    737 [981, 3929, 15721, 62889, 251561, 1006249, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            841 [559, 2241, 8969, 35881, 143529, 574121, "..."]
                559 [371, 1489, 5961, 23849, 95401, 381609, "..."]
                    371 [493, 1977, 7913, 31657, 126633, 506537, "..."]
                    ... [ ...]
                ... [ ...]
            ... [ ...]
        ... [ ...]
    ... [ ...]

Ein noch intuitiverer Baum ist derselbe Baum, aber es werden Werte übernommen

\log_{2} ()

$\log_2()$ . Der Verlauf in den Vektoren ist dann nahezu linear, und die Werte der

19

$19$ -Baum scheinen etwas dichter als die der

29

$29$ -tree, wenn wir ein Wertefenster mit fester Unter- und Obergrenze auswählen. Ich will aber nicht suggerieren, dass dieser Eindruck schon objektiv ist und Ihre Frage bereits beantworten könnte!

mytreelog(19,5)

 4.95 [4.25, 6.34, 8.36, 10.4, 12.4, 14.4]
    4.25 [3.46, 5.61, 7.65, 9.66, 11.7, 13.7]
        3.46 [3.70, 5.83, 7.86, 9.87, 11.9, 13.9]
            3.70 [2.81, 5.04, 7.10, 9.11, 11.1, 13.1]
                2.81 [1.58, 4.09, 6.19, 8.21, 10.2, 12.2]
                    4.09 [4.39, 6.48, 8.50, 10.5, 12.5, 14.5]
                    6.19 [5.55, 7.59, 9.60, 11.6, 13.6, 15.6]
                7.10 [7.50, 9.51, 11.5, 13.5, 15.5, 17.5]
                    7.50 [6.89, 8.91, 10.9, 12.9, 14.9, 16.9]
                9.11 [8.52, 10.5, 12.5, 14.5, 16.5, 18.5]
                    8.52 [7.92, 9.93, 11.9, 13.9, 15.9, 17.9]
            7.86 [8.27, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3, 18.3]
            9.87 [9.28, 11.3, 13.3, 15.3, 17.3, 19.3]
                9.28 [9.70, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
                    9.70 [9.11, 11.1, 13.1, 15.1, 17.1, 19.1]
        5.61 [4.95, 7.01, 9.03, 11.0, 13.0, 15.0]
            4.95 [4.25, 6.34, 8.36, 10.4, 12.4, 14.4]
                4.25 [3.46, 5.61, 7.65, 9.66, 11.7, 13.7]
                    3.46 [3.70, 5.83, 7.86, 9.87, 11.9, 13.9]
                    5.61 [4.95, 7.01, 9.03, 11.0, 13.0, 15.0]
                    9.66 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
                8.36 [8.77, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
                    8.77 [9.18, 11.2, 13.2, 15.2, 17.2, 19.2]
            9.03 [9.44, 11.4, 13.4, 15.4, 17.4, 19.4]
        9.66 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
    8.36 [8.77, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
        8.77 [9.18, 11.2, 13.2, 15.2, 17.2, 19.2]
            9.18 [9.59, 11.6, 13.6, 15.6, 17.6, 19.6]
                9.59 [10.0, 12.0, 14.0, 16.0, 18.0, 20.0]

mytreelog(29,5)

 4.52 [4.86, 6.92, 8.93, 10.9, 12.9, 14.9]
    4.86 [5.21, 7.26, 9.27, 11.3, 13.3, 15.3]
        5.21 [4.52, 6.60, 8.62, 10.6, 12.6, 14.6]
            4.52 [4.86, 6.92, 8.93, 10.9, 12.9, 14.9]
                4.86 [5.21, 7.26, 9.27, 11.3, 13.3, 15.3]
                    5.21 [4.52, 6.60, 8.62, 10.6, 12.6, 14.6]
                    9.27 [9.68, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
                6.92 [6.30, 8.33, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3]
                    6.30 [5.67, 7.71, 9.72, 11.7, 13.7, 15.7]
            6.60 [5.98, 8.01, 10.0, 12.0, 14.0, 16.0]
                8.01 [8.41, 10.4, 12.4, 14.4, 16.4, 18.4]
                    8.41 [8.82, 10.8, 12.8, 14.8, 16.8, 18.8]
        9.27 [9.68, 11.7, 13.7, 15.7, 17.7, 19.7]
            9.68 [10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1, 20.1]
    6.92 [6.30, 8.33, 10.3, 12.3, 14.3, 16.3]
        6.30 [5.67, 7.71, 9.72, 11.7, 13.7, 15.7]
            7.71 [8.11, 10.1, 12.1, 14.1, 16.1, 18.1]
                8.11 [7.52, 9.53, 11.5, 13.5, 15.5, 17.5]
                    9.53 [9.94, 11.9, 13.9, 15.9, 17.9, 19.9]
            9.72 [9.13, 11.1, 13.1, 15.1, 17.1, 19.1]
                9.13 [8.54, 10.5, 12.5, 14.5, 16.5, 18.5]
                    8.54 [8.95, 10.9, 13.0, 15.0, 17.0, 19.0]

zweimal derselbe Fluss · Answer 2

Der Grund, warum Sie sehen, dass die gleichen Proportionen in jedem Zyklus konvergieren, unabhängig von dem Anteil der natürlichen Zahlen, den Sie abtasten, ist folgender:

Jeder Zyklus hat eine feste Anzahl von Nebenflüssen oder Zweigen, die durch die ungeraden Zahlen in dieser Schleife aufgezählt werden. Zum Beispiel $1,8,4,2,1$ hat einen Zweig. Obwohl jeder Zweig Bestandteil einer Schleife ist, erstreckt er sich, wenn er umgekehrt verfolgt wird, ebenfalls unendlich nach oben und erhält unendlich viele weitere eingehende Zweige.

Jede ungerade Zahl $x$ kann als Wurzel eines sich nach oben erstreckenden Astes angesehen werden, der die Zahlen enthält $x,2x,4x,8x,16x,32x\ldots$ . Es ist die Anzahl dieser Zweige, die sich durch die ganzen Zahlen nach oben erstrecken, und die Häufigkeit, mit der sie wiederum weitere Zweige haben, die den Anteil der ganzen Zahlen in einem bestimmten Bereich bestimmen, die zu dem bestimmten Zyklus konvergieren.

Jeder dieser Zweige, abhängig von seinem Wert $\equiv\mod 3$ , erhält an bestimmten Punkten eingehende Verzweigungen. Ich kenne mich mit den nicht aus $3x+5$ Struktur, aber die Regeln sind im Allgemeinen die gleichen wie bei der herkömmlichen Vermutung, bei der alle ungeraden Zahlen die sind $\equiv0\mod 3$ erhalten keine solchen ankommenden Nebenstellen, die $x\equiv 1\mod 3$ Empfangen Sie eingehende Zweige in jeder geraden Potenz $2$ (dh $4x,16x,64x,\ldots$ ) und diese $x\equiv 2\mod 3$ erhalten Zweige auf jede ungerade Potenz von $2$ .

Die Unterzweige jedes Zweigs sind in genau gleichen Anteilen zwischen 0,1,2 mod 3 verteilt und daher nehmen die Unterzweige jedes Zweigs innerhalb einer Schleife in gleichen Anteilen zu, wenn Sie durch die ganzen Zahlen aufsteigen.

Sobald Sie auf eine Ebene innerhalb der ganzen Zahlen aufsteigen, auf der Sie sich über allen Zyklen befinden, sollten Sie daher feststellen, dass der Anteil der Zweige, die zu jedem Zyklus konvergieren, bestimmt wird durch a) die Reihenfolge dieses Zyklus, gemessen an der Anzahl der darin enthaltenen ungeraden Zahlen und b) die Anteile der darauf konvergierenden Zahlen, die Verzweigungen erhalten (gemäß dem Beispiel, das ich oben für das herkömmliche CC gegeben habe).

Ich bin mir nicht sicher, ob die Anzahl der ungeraden Zahlen die Schleifenproportionen bestimmt. Zum Beispiel deuten die Daten darauf hin, dass die 19-Schleife mehr oder weniger 49 % aller natürlichen Zahlen einnimmt, während die 23-Schleife etwa 9,5 % einnimmt, obwohl beide Schleifen die gleiche Anzahl ungerader Zahlen haben. Was die Proportionen von Zahlen betrifft, die zu verschiedenen Schleifen konvergieren, ist es schwer zu wissen. Die Spekulation, dass einfach mehr "Sackgassen" mit bestimmten Schleifen als mit anderen verbunden sind, würde dies erklären, es ist jedoch auch möglich, dass aufgrund der Verwendung einer Stichprobengröße nicht genügend Verzweigungen für die größeren Schleifen gefunden wurden.
@ GriffonTheorist697 es ist eine Kombination aus a) der Anzahl der ungeraden Mitglieder des Zyklus und b) dem Anteil derjenigen, die Unterzweige erhalten. In der konventionellen Vermutung erhält jeder Zweig genau Unterzweige $2/3$ seiner unmittelbaren ungeraden Vorgänger. zB unmittelbare Vorgänger von $1$ Sind $1,5,21,85,341,1365...$ Exakt $2/3$ davon erhalten eingehende Unterzweige, dh $1,5,85,341,...$ Wenn dein $3x+5$ ist dann anders, weil verschiedene Klassen von Zahlen eingehende Verzweigungen zu einem unterschiedlichen Anteil ihrer unmittelbaren ungeraden Vorgänger erhalten.
@ GriffonTheorist697 Überprüfen Sie die unmittelbaren ungeraden Vorgänger von $19$ Und $23$ und sehen, was sie mod sind $3$ und prüfen Sie dann, welcher Anteil davon im Bereich der Funktion liegt $3x+5$
Diese Antwort geht sicherlich in die richtige Richtung. Die Vorherrschaft der 19-Schleife gegenüber der 23-Schleife erklärt sich zu einem großen Teil dadurch, dass $19\equiv 1\pmod 3$ Und $23\equiv 2$ . Die Bedeutung dieser Tatsache hängt davon ab, welcher Wert von gilt $q$ Sie arbeiten mit, soweit die $3n+q$ Funktion. Um die Regelmäßigkeiten zu sehen, müssen Sie alles Mögliche betrachten $q$ Werte, nicht nur ein oder zwei. Ich habe viele Ergebnisse in diesem Bereich.
@RobertFrost Ich stimme zu, dass die " $2/3$ "-Effekt würde erklären, dass diese Schleifen proportional wachsen. Da jedoch beide Schleifen gleichzeitig zu wachsen scheinen, scheint dies der Fall zu sein $19$ Schleife ist größer. Es ist möglich, dass die Stichprobengröße kleinere Zahlen wie die in verzerrt $19$ & $1$ Schleifen, weil es immer mehr Vielfache von kleineren Zahlen als von größeren Werten gibt, wenn es eine Grenze gibt. Dies erklärt jedoch nicht, warum die $1$ Schleife ist kleiner als die $19$ Schleife (für alle natürlichen Zahlen). Daher besteht das Problem darin, ob eine Stichprobengröße der falsche Ansatz ist oder nicht, um Daten zu diesem Problem zu sammeln.
@GTonyJacobs In meinen digitalen Skizzen habe ich die Konsequenz des zusätzlichen "Schwanzes" gezeichnet, der damit verbunden ist $38$ , aber das liegt daran, dass 19 $\equiv$ $1$ (Mod $9$ ) und der zweite Zweig ist zufällig Teil der Schleife und nicht der erste, anders als $37$ im $23$ Schleife. Ich konnte dies jedoch nicht herausziehen $187$ Und $347$ Schleifen haben zusammen mit ihren anderen Schwänzen auch diesen zusätzlichen "Schwanz" -Effekt. Das Problem ist, wenn die Stichprobengröße mehr Zahlen aus den Schwänzen der zieht $19$ Schleife im Vergleich zu denen der größeren Schleifen.
Ich verstehe, was du mit den Schwänzen meinst. Ich denke, es geht mehr darum, welche Schleifen zusätzliche Schwänze haben und wie klein die Zahlen in diesen sind.
Jeder Zyklus mit einem Element größer als $2$ In seiner Form hat der Vektor zusätzliche Schwänze, wobei die Anzahl der zusätzlichen Schwänze einem Vektorelement entspricht $a$ gegeben von $\lfloor(a-1)/2 \rfloor$ .

Hat die Collatz-Regel 3x+53x+53x+5 eine Verzerrung für bestimmte Schleifen oder sind meine Ergebnisse fehlerhaft?

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