Wie viele nahezu perfekte Permutationen gibt es?

Eine Permutation$\left(a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n\right)$der Zahlen$(1, 2, 3, \cdots , n)$heißt fast-perfekt, wenn es genau eine gibt$i \in \{1, 2, 3, \cdots , n-1\}$so dass$a_i > a_{i+1}$. Wie viele nahezu perfekte Permutationen der Zahlen gibt es?$(1, 2, 3, ... , 11)$?

Das Problem ist von einem Scheinwettbewerb. Hier mein Versuch das Problem zu lösen:

Ich begann mit kleinen Werten von$i$und nach einem Muster gesucht. Hier$i$ist eine Zahl, für die$a_i>a_{i+1}$. Für$i=1$, die ersten beiden Zahlen haben die Form$(k,1)$Wo$k\in \{2,3,\dots,n\}$. Andernfalls gibt es mehr als ein Paar$(a_i,a_{i+1})$wofür$a_i>a_{i+1}$. Also haben wir$n-1$solche Permutationen in diesem Fall.
Für$i=2$, haben die ersten drei Zahlen eine der beiden Formen$(1,k,2)$oder des Formulars$(2,k,1)$Wo$k\in \{3,4,\dots,n\}$. Also haben wir$2(n-2)$ fast perfekte Permutationen in diesem Fall.
Für$i=3$, die ersten vier Zahlen haben die Form$(1,2,k,3)$oder$(1,3,k,2)$oder$(2,3,k,1)$Wo$k\in\{4,5,\dots,n\}$. Also haben wir$3(n-3)$ fast perfekte Permutationen in diesem Fall.
Also behaupte ich, dass es sie gibt$i(n-i)$ nahezu perfekte Permutationen für jeden$i$. So ist z$n=11$wir haben insgesamt$1(11-1)+2(11-2)+\dots+10(11-10)=220$ nahezu perfekte Permutationen.

Ich bin mir nicht sicher, ob die obige Lösung richtig ist oder nicht. Aber ich denke, das ist nicht der beste Weg, um das Problem zu lösen. Also suche ich nach einer besseren Lösung.