Menschen sitzen um dreieckige Tische

Es ist nicht notwendig, die Anzahl der Arrangements an beiden Tischen zu zählen; das Verhältnis ist einfach$3$, weil jede der gleichseitigen Anordnungen drei gleichschenkligen Anordnungen entspricht, wobei die "Basen" der gleichschenkligen Dreiecke die drei verschiedenen Seiten des gleichseitigen Dreiecks sein sollen. (Dies setzt voraus, dass "gleichschenklig" "gleichschenklig, aber nicht gleichseitig" bedeutet.)

Bemerkung: Ich wollte dies ursprünglich nur als Kommentar posten, entschied mich aber, es zu einer vollwertigen Antwort zu machen, um einen Punkt zu betonen: Wenn Sie genau darauf achten, was eine Frage genau verlangt, können Sie manchmal mit einer Menge davonkommen weniger Arbeit, als Sie sonst erwarten würden. In diesem Fall ist das tatsächliche Zählen der Arrangements nicht besonders schwierig, aber es erfordert einige Mühe. Da die Frage nur nach dem Verhältnis fragt, genügt es zu beachten, dass die gleichschenkligen Anordnungen in Dreiergruppen vorkommen. Ein fortgeschritteneres Problem könnte eine entmutigende Herausforderung darstellen, um die Arrangements zu zählen, aber es gibt immer noch einen einfachen Weg, um das Verhältnis zu ermitteln.

Drei Personen auf jeder Seite eines Tisches in Form eines gleichschenkligen Dreiecks : Wählen Sie einen der Sitzplätze als Ausgangspunkt (es spielt keine Rolle, welchen Sitzplatz Sie wählen). Es gibt neun Möglichkeiten, die Person auszuwählen, die auf diesem Platz sitzt. Die restlichen acht Personen können untergebracht werden$8!$Weisen, wenn wir von dieser Person aus im Uhrzeigersinn um den Tisch herumgehen. Bis auf Drehung gibt es$9 \cdot 8! = 9!$solche Anordnungen. Es gibt jedoch drei äquivalente Drehungen des Tisches, also haben wir jede solche Anordnung dreimal gezählt. Daher gibt es

$$\frac{9!}{3}$$ Anordnungen von neun Personen um einen Tisch in Form eines gleichseitigen Dreiecks, wenn auf jeder Seite drei Personen sitzen.

Wenn$n = kx$, Wo$k$ist eine ganze Zahl, die Anzahl der Wege$n$Menschen können um einen Tisch in Form eines regelmäßigen Polygons sitzen$x$Seiten ist

$$\frac{n!}{x}$$ weil dort sind$n!$Möglichkeiten, die Leute um den Tisch zu arrangieren und$x$äquivalente Drehungen.

Wenn wir ein Dreieck auf ein Blatt Papier zeichnen und 3 Schlitze auf jeder Seite setzen, ist die Anzahl der Möglichkeiten, Menschen auf den 9 Schlitzen zu platzieren$9!$. Aber es gibt eine Symmetrie, bei der, wenn wir die Platzierung auf jeder Seite zur nächsten Seite drehen würden, die Sitzgelegenheiten für alle gleich aussehen würden.

Das heißt, wenn Sie die Personen A, B, C auf Seite 1, die Personen D, E, F auf Seite 2 und die Personen G, H, I auf Seite 3 haben, entspricht dies den Personen G, H, I auf Seite 1 , Personen A, B, C auf Seite 2 und Personen D, E, F auf Seite 3, mit der gleichen Reihenfolge der Personen auf jeder Seite. Für diese Konfiguration gibt es insgesamt 3 gleichwertige Platzierungen. Es gibt keine anderen gleichwertigen Platzierungen. Angenommen, Sie sind Person A, die am Tisch sitzt; Auf Ihrer Seite wissen Sie, dass B rechts von Ihnen ist und C rechts von B, und auf der nächsten Seite ist es D, E, F usw. Dies zwingt diese 3 dazu, die einzigen Platzierungen zu sein, die dieser Konfiguration entsprechen.

Daher beträgt die Gesamtzahl der Sitzmöglichkeiten für die 9 Personen$9!/3.$

Ich gehe davon aus, dass auf jeder Seite drei Personen sitzen, die symmetrisch sitzen

Wenn die Plätze nummeriert sind, wird die Anzahl der Arrangements sein$9!$für beide.

Wenn sie nicht nummeriert sind, bleibt es für das gleichschenklige Dreieck$9!$, aber das für das gleichseitige Dreieck wird$\frac{9!}{3}$weil Sie nicht zwischen den drei Scheitelpunkten unterscheiden können. [Zum Sitzen in gleichen Abständen in einem Kreis wäre es$\frac{9!}{9}$weil man keine unterscheiden konnte$9$Punkte]