Wahrscheinlichkeit, zum Ausgangspunkt zurückzukehren

Die Problemstellung geht also so -

Die Punkte A, B und C liegen auf einem Kreis und sind im Uhrzeigersinn angeordnet. Wir werfen einen fairen 6-seitigen Würfel und führen eine der 3 folgenden Operationen basierend auf dem Wurf des Würfels durch.

  • Bewegen Sie sich im Uhrzeigersinn – wenn 1 oder 2 angezeigt wird.
  • Bewegen Sie sich gegen den Uhrzeigersinn – wenn 3 oder 4 angezeigt wird.
  • Bewegen Sie sich nicht - wenn 5 oder 6 auftauchen.

Wir nehmen A als Ausgangspunkt. Wir würfeln 8 Mal und führen die Operationen basierend auf dem Würfelwurf durch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir am Ende zu A zurückkehren. So liegen A, B & C auf dem Kreis

Ich möchte das Problem unter Berücksichtigung gültiger Fälle aus den verschiedenen möglichen lösen 3 8 Fälle.

Ich habe den Leitartikel dazu nachgeschlagen und dort wurde die Antwort aufgrund von Symmetrie mit 1/3 angegeben (gleiche Wahrscheinlichkeiten für die Durchführung einer der Operationen). Ich wollte jedoch versuchen, die gültigen Fälle selbst zu bilden, und konnte die nicht erreichen antworten -

Mein Ansatz: Nennen wir cc - totale Operationen im Uhrzeigersinn | ac - Gesamtoperationen gegen den Uhrzeigersinn | xx - insgesamt kein Bewegungsvorgang

Wir können haben

  • Gleiche Anzahl von Fällen im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn.
  • Wenn ac oder cc ein Vielfaches von 3 ist und das andere 0 ist.
  • Wenn kein Vielfaches von 3 und ungleich, dann ( (cc%3) - ac) || ((ac%3) - cc) == 0 ) wobei % für den Modul steht, der den Rest ergibt

Meine gültigen Fälle - (ac, cc, xx)

  • (1, 1, 6) = 56
  • (2, 2, 4) = 840
  • (3, 0, 5) = 56
  • (5, 0, 3) = 56
  • (3, 3, 2) = 560
  • (4, 4, 0) = 70
  • (4, 1, 3) = 280
  • (1, 4, 3) = 280
  • (5, 2, 1) = 168
  • (2, 5, 1) = 168
  • (6, 0, 2) = 28
  • (0, 6, 2) = 28
  • (7, 1, 0) = 8
  • (1, 7, 0) = 8
  • (0, 0, 8) = 1

Gesamt gleich = 2607. Wenn ich es durch dividiere 3 8 , bekomme ich es als 0,397 (nicht genau 0,33).

Übersehe ich bestimmte Fälle?

Sie können keine Fälle verpassen (und scheinen es auch nicht zu sein), weil Sie eine zu große Antwort erhalten. Der wahrscheinlichere Fehler ist, dass Sie Kombinationen falsch zählen, die zu einem bestimmten Fall führen. (Du solltest haben ( 0 , 3 , 5 ) anstatt ( 5 , 0 , 3 ) aber das hat keinen Einfluss auf Ihr Ergebnis.) Sie sollten am Ende mit 2187 ( = 3 7 ) Kombinationen, die funktionieren. Nach meinen Berechnungen gibt es 420 Kombinationen, die daraus resultieren ( 2 , 2 , 4 ) . Ich denke, das erklärt genau deinen Fehler.

Antworten (2)

Sie können keine Fälle verpassen (und scheinen es auch nicht zu sein), weil Sie eine zu große Antwort erhalten. Der wahrscheinlichere Fehler ist, dass Sie Kombinationen falsch zählen, die zu einem bestimmten Fall führen. (Du solltest haben ( 0 , 3 , 5 ) anstatt ( 5 , 0 , 3 ) aber das wird Ihr Ergebnis nicht beeinflussen.)

Sie sollten am Ende mit 2187 ( = 3 7 ) Kombinationen, die funktionieren. Nach meiner Berechnung gibt es 420 = 8 ! 4 ! 2 ! 2 ! Kombinationen, die daraus resultieren ( 2 , 2 , 4 ) , nicht 840 wie in deiner Berechnung angegeben. Ich denke, das erklärt genau deinen Fehler.

Ja, es scheint, als hätte ich mich im Fall (2, 2, 4) etwas verrechnet. Wie Sie auch sagten, würde (5, 0, 3) nicht als gültiger Fall klassifiziert werden und stattdessen (0, 3, 5). 420 statt 840 gibt die richtige Antwort. Vielen Dank !

Ich denke, Sie müssen bestimmte Fälle übersehen, ja.

Überlegen Sie, wo Sie sich beim vorletzten Schritt befinden. Sie könnten sich an einem der drei Punkte befinden, und lassen Sie uns im Moment nicht davon ausgehen, was wahrscheinlicher ist. Dann:

Wenn Sie im vorletzten Schritt bei Punkt A sind, haben Sie eine Chance von 1/3, im letzten Schritt bei Punkt A zu landen.

Wenn Sie im vorletzten Schritt bei Punkt B sind, haben Sie eine Chance von 1/3, im letzten Schritt bei Punkt A zu landen.

Wenn Sie im vorletzten Schritt bei Punkt C sind, haben Sie eine Chance von 1/3, im letzten Schritt bei Punkt A zu landen.

Unabhängig davon, wo Sie in einem vorherigen Schritt waren, haben Sie immer eine 1/3-Wahrscheinlichkeit, bei jedem Schritt danach an einem der drei Punkte zu sein. Das ist vermutlich die Symmetrie, auf die sie sich beziehen.

Dies ist ein sehr guter (rekursiver) Weg, um über das Problem nachzudenken!
@informatics-mathematics danke, freut mich, dass es hilfreich war! In der Physik (und vielleicht auch anderswo) würde dieses Szenario des Springens zwischen Zuständen mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten als Markov-Kette bezeichnet. Es könnte mit einer Übergangsmatrix dargestellt werden, die es Ihnen ermöglichen würde, kompliziertere, weniger symmetrische Szenarien zu behandeln.
Wahrscheinlichkeit, zum Ausgangspunkt zurückzukehren
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