Wahrscheinlichkeit und Cookies

Question

Wahrscheinlichkeit und Cookies

Mathematik
Wahrscheinlichkeit
Kombinationen
Permutationen
Kombinatorik
Inklusion Exklusion

Alkabary

Wenn eine Bäckerei vier verschiedene Arten von Keksen herstellt (Schokolade, Erdnussbutter, Ingwerschoten und Haferflocken).

Wie viele verschiedene Tüten mit 12 Keksen kann die Bäckerei anbieten?

Dies ist ein Kombinationsproblem mit Wiederholungen, also haben wir die Formel

(\binom{N + R - 1}{R})

${n + r -1 \choose r}$ und hier haben wir

n = 4, r = 12

$n = 4, r = 12$ und so haben wir

(\binom{4 + 12 - 1}{12}) = (\binom{15}{12})

${4 + 12 - 1 \choose 12} = {15 \choose 12}$ verschiedene Tüten mit 12 Keksen.

Nun, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Tüte mit diesen 12 Keksen mindestens einen Keks jeder Art enthält?

Jetzt müssen wir die Anzahl der Tüten, die nicht alle verschiedenen Arten von Keksen enthalten, abziehen ${15 \choose 12}$

Nun, auf wie viele Arten kann eine Tüte nicht alle Arten von Keksen enthalten?

Es kann die ersten drei Typen enthalten und den letzten ausschließen, was meiner Meinung nach der Fall ist ${3 + 12 - 1 \choose 12} = {14 \choose 12}$

es gibt auch ${4 \choose 3}$ eine Reihe von Möglichkeiten, diese drei Typen auszuwählen, und so multiplizieren wir

(\binom{4}{3}) (\binom{14}{12})

${4 \choose 3}{14 \choose 12}$

Jetzt machen wir dasselbe für eine Tüte, die zwei verschiedene Arten von Keksen enthält, um sie zu bekommen

(\binom{4}{2}) (\binom{13}{12})

${4 \choose 2}{13 \choose 12}$

Und jetzt sind die Tüten, die nur eine Art von Keksen enthalten, das Letzte, was ist

(\binom{4}{1}) (\binom{12}{12})

${4 \choose 1}{12 \choose 12}$

Jetzt sollte die Wahrscheinlichkeit gleich sein

\frac{(\binom{15}{12}) - ((\binom{4}{3}) (\binom{14}{12}) + (\binom{4}{2}) (\binom{13}{12}) + (\binom{4}{1}) (\binom{12}{12}))}{(\binom{15}{12})}

$\frac{{15 \choose 12} - \big({4 \choose 3}{14 \choose 12}+ {4 \choose 2}{13 \choose 12} + {4 \choose 1}{12 \choose 12} \big)}{15 \choose 12}$

Ist das logisch und richtig?

Antworten (2)

Wahrscheinlichkeit und Cookies

jorik · Answer 1

Nein, diese Argumentation ist nicht richtig. Sie subtrahieren einige der Möglichkeiten mehrfach. Sehen Sie sich Inklusion-Exklusion an . Um jede Möglichkeit genau einmal zu zählen, braucht man Wechselzeichen:

(\binom{15}{12}) - (\binom{4}{3}) (\binom{14}{12}) + (\binom{4}{2}) (\binom{13}{12}) - (\binom{4}{1}) (\binom{12}{12}) = 165 .

$\binom{15}{12}-\binom43\binom{14}{12}+\binom42\binom{13}{12}-\binom41\binom{12}{12}=165\;.$

Aber es gibt auch einen viel einfacheren Ansatz: Die Typen von $4$ Cookies sind bereits vorhanden (jeweils einer), also haben wir jetzt nur noch $8$ Cookie-Typen zur Auswahl, nachgebend

(\binom{4 + 8 - 1}{8}) = (\binom{11}{8}) = 165

$\binom{4+8-1}8=\binom{11}8=165$

Möglichkeiten.

Warum brauchen wir Wechselzeichen, könnten Sie das bitte erklären? @Joriki
@alkabary: Hast du dir den Artikel angesehen, auf den ich verlinkt habe? Welcher Teil davon ist unklar?
Können Sie den einfacheren Ansatz näher erläutern? Es gibt vier Arten von Cookies. Aber warum haben wir? $8$ Hier ? @Joriki
@alkabary: Weil $12-4=8$ . Wir haben $12$ Cookies und die Art der $4$ Cookies festgelegt ist, also die Arten von $12-4=8$ Cookies müssen noch ausgewählt werden. Stellen Sie sich die Typen als Gläser vor. Du hast $12$ Kekse u $4$ Keksdosen. Du gibst einen Keks in jedes Glas und entscheidest dann, wohin du den Rest stellst $12-4=8$ Kekse.
Ok, aber nur noch eine Frage, warum gibt es eine Überschneidung zwischen ${4 \choose 3}{14 \choose 12}$ Und ${4 \choose 2}{13 \choose 12}$ zum Beispiel ?
@alkabary: $\binom{14}{12}$ zählt die Anzahl der Möglichkeiten für die Cookies, höchstens drei bestimmte Typen zu haben . Es enthält Konfigurationen, in denen die Cookies tatsächlich nur einen oder zwei dieser Typen haben. Wenn dies nicht sofort klar ist, schauen Sie sich vielleicht die Ableitung von an $\binom{3+12-1}{12}$ mit Sternen und Balken .

Will Orrick · Answer 2

Die Frage scheint schlecht gestellt. Was versteht man unter einer „Zufallstüte“? Mit anderen Worten, durch welchen Prozess werden die $12$ Kekse ausgewählt? Wir können uns vorstellen, dass die Bäckerei eine große Kiste hat, die alle vier Arten von Keksen enthält, und so weiter $12$ Cookies werden zufällig aus der Box ausgewählt. Aber die Antwort hängt davon ab, wie viele Kekse von jedem Typ in der Schachtel sind.

Wenn wir annehmen, dass die Kiste gleiche Anzahlen von jeder Art von Keksen enthält und dass die Gesamtzahl von Keksen in der Kiste extrem groß ist, so dass die Erschöpfung einer Art vernachlässigt werden kann, wenn ein Keks dieser Art ausgewählt wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit Ist

\frac{4^{12} - (\binom{4}{3}) 3^{12} + (\binom{4}{2}) 2^{12} - (\binom{4}{1}) 1^{12}}{4^{12}} = \frac{4! {\binom{12}{4}}}{4^{12}} \approx 0,87.

$\frac{4^{12}-\binom{4}{3}3^{12}+\binom{4}{2}2^{12}-\binom{4}{1}1^{12}}{4^{12}}=\frac{4!\left\{ {12 \atop 4}\right\}}{4^{12}}\approx0.87.$ Hier

{\binom{12}{4}}

$\left\{ {12 \atop 4}\right\}$ ist eine Stirlingzahl zweiter Art.

In Ihrer Herangehensweise an das Problem gehen Sie davon aus, dass alle Zusammensetzungen einer Tasche gleich wahrscheinlich sind, was mir nicht sehr selbstverständlich erscheint. Mit Jorikis Ergebnis ergibt diese Annahme die Wahrscheinlichkeit $165/455\approx0.36,$ ein viel niedrigerer Wert als der, den das Box-Modell angibt.

Wahrscheinlichkeit und Cookies

Alkabary

Antworten (2)

jorik

Alkabary

jorik

Alkabary

jorik

Alkabary

jorik

Will Orrick

Logischer Fehler im Wahrscheinlichkeitsproblem über Postboten, die Briefe ausliefern, sodass jedes Haus einen falschen Brief bekommt

Wahrscheinlichkeit, zum Ausgangspunkt zurückzukehren

Falsche Lösung: Wie groß ist die Möglichkeit, dass bei drei Tonnen und drei Bällen genau eine Tonne leer ist?

Berechnung von mal genau 2 Paaren aufeinanderfolgender identischer Buchstaben.

Ehepaare sitzen um einen runden Tisch

5 Jungen und 3 Mädchen sind so anzuordnen, dass nur ein Mädchen einen Jungen neben sich hat. Finden Sie die Nummer einer solchen Anordnung

Kombinatorik wählt Mitglieder für eine Klasse aus.

Wie viele Mengenpaare haben kein gemeinsames Element?

Anzahl der kreisförmigen Sitzgruppen, wenn nicht jede Person neben zwei anderen Personen sitzen kann

Wahrscheinlichkeit, 3 rote Bälle aus 9 Versuchen in beliebiger Reihenfolge zu bekommen