Ehepaare sitzen um einen runden Tisch

Wir setzen 5 Ehepaare um einen runden Tisch (die Sitzplätze sind identisch). Sei {m1,m2,m3,m4,m5} die Menge der Männer und sei {w1,w2,w3,w4,w5} die Menge ihrer Frauen. Auf wie viele Arten wird der Mann 1 neben seiner Frau und dem Mann sitzen 3 wird nicht neben seiner Frau sitzen?

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, wie sie ohne Einschränkungen sitzen könnten, wäre ( 10 − 1 ) ! sich zu arrangieren.

  • M1W1 muss zusammensitzen Betrachten wir w1m1 als eine Einheit. Somit bleiben wir übrig 9 Menschen stattdessen. w1 und m1 können aber auch untereinander angeordnet werden 2 ! Möglichkeiten, daher ist die Antwort ( 9 − 1 ) ! ∗ 2 ! wegen kreisförmiger Anordnung.

  • Betrachten wir den Fall, wo M3 und W3 zusammen mit M1 und W1 sind. m1w1, m3w3 Jetzt sind noch 8 Leute übrig. w1m1 kann untereinander in 2 arrangiert werden! Möglichkeiten wie w3m3, so dass wir bekommen ( 8 − 1 ) ! ∗ 2 ∗ 2 Wegen der kreisförmigen Anordnung

Wir brauchen Arrangements, wenn w3 und m3 nicht zusammen sind.

Gesamtarrangements = ( 8 ! ∗ 2 ! ) − ( 7 ! ∗ 2 ! ∗ 2 ! )

  • Ist es richtig?
  • Muss ich die endgültige Antwort von der Gesamtzahl der Arrangements ohne Einschränkungen abziehen?
  • Wie mache ich das richtig nach dem Inklusions- und Exklusionsprinzip?

Update : Mein Versuch, es mit dem Einschluss-/Ausschlussprinzip zu lösen

Die Gesamtzahl der Anordnungen ohne Einschränkungen wäre

( 10 − 1 ) !

Arrangements wo m1w1 nicht zusammen wären

_m2_m3_m4_m5_w2_w3_w4_w5_

Wir haben 9 Stellen, an denen wir 2 Personen platzieren und auf 2 Arten anordnen möchten, dann bleiben uns 8 andere Personen übrig.

( 8 − 1 ) ! ∗ ( 9 − 1 2 ) ∗ 2 !

Arrangements, bei denen m3w3 zusammen sind

Betrachten Sie m3w3 als eine Einheit. Jetzt bleiben uns noch 9 Gruppen und wir können m3w3 immer noch in 2 untereinander arrangieren! Wege.

( 9 − 1 ) ! ∗ 2

Arrangements, bei denen m1w1 nicht zusammen sind , m3w3 zusammen sind

_m3w3_m2_m4_m5_w2_w4_w5_

Wieder müssen wir 2 Buchstaben an 8 Stellen platzieren, nämlich m1 und w1, und dann ordnen wir sie auf 2 Arten an. Danach arrangieren wir die 7 anderen Personen mit m3w3 als eine Gruppe, so dass dies in (7-1!) in einem runden Tisch geschehen könnte, und wiederum könnten sie auf zwei verschiedene Arten angeordnet werden. Daher erhalten wir Folgendes:

( 8 − 1 2 ) ∗ 2 ! ∗ ( 7 − 1 ) ! ∗ 2 !

Endgültige Antwort:

9 ! − ( 7 ! ∗ ( 8 2 ) ∗ 2 ! + 8 ! ∗ 2 − ( 7 2 ) ∗ 2 ! ∗ 6 ! ∗ 2 ! )

Ich bekomme die gleiche Antwort wie oben, also bedeutet dies, dass meine Implementierung von Inklusion und Exklusion korrekt ist?

Antworten (1)

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, sie zu setzen, ist nur 9 ! . Sie setzen eine Person, sagen wir m1, um einen Stuhl zu identifizieren, und bringen dann die anderen in Ordnung. Dein 8 ! 2 ! ist für die Anzahl der Wege mit m1,w1 zusammen richtig. Die Subtraktion für m3,w3 ist auch korrekt und du bist fertig. Sie müssen überhaupt nicht die Gesamtzahl der Arrangements einbeziehen.

Großartig! Also durch Subtrahieren ( 8 ! ∗ 2 ! ) − ( 7 ! ∗ 2 ! ∗ 2 ! ) , haben wir die endgültige Antwort?
Das ist richtig
Mit IE würden Sie mit allen Arrangements beginnen, die Zahl subtrahieren, die jedes Paar auseinander hat, und dann die zurückzählen, die beide auseinander haben. Dies ist ein viel schwierigerer Weg für dieses Problem.
Ehepaare sitzen um einen runden Tisch
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v