Auf wie viele Arten können 555 Schüler und 333 Lehrer an einem Tisch sitzen, sodass keine zwei Lehrer zusammen sind?

Ich würde das Problem genau so lösen, wie du es getan hast.

Hier ist ein alternativer Ansatz, um Ihre Antwort zu bestätigen.

Wir können die fünf Schüler einreihen$5!$Weisen, wobei zwischen ihnen und an den Enden der Reihe Leerzeichen gelassen werden, in die die Lehrer eingefügt werden können. Es gibt sechs solcher Räume, vier zwischen aufeinanderfolgenden Schülern und zwei an den Enden der Reihe. Wir können die drei Lehrer einfügen$P(6, 3) = 6 \cdot 5 \cdot 4$Wege. Das gibt uns

$$5! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$$ lineare Anordnungen von Schülern und Lehrern, in denen keine zwei Lehrer aufeinander folgen.

Da wir aber die Schüler und Lehrer um einen runden Tisch herum anordnen wollen, sodass keine zwei Lehrer hintereinander sitzen, müssen wir die linearen Anordnungen ausschließen, bei denen die Lehrer an beiden Enden der Reihe sitzen. Es gibt drei Möglichkeiten, den Lehrer am linken Ende der Reihe auszuwählen, zwei Möglichkeiten, den Lehrer am rechten Ende der Reihe auszuwählen, und vier Möglichkeiten, den verbleibenden Lehrer in einem der vier Zwischenräume zwischen aufeinanderfolgenden Schülern zu platzieren. Daher gibt es

$$3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5!$$ lineare Anordnungen, bei denen Lehrer an beiden Enden der Reihe stehen.

Daher gibt es

$$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 5! - 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5! = (120 - 24)5! = 96 \cdot 5!$$ lineare Anordnung von Lehrern und Schülern, so dass keine zwei Lehrer hintereinander stehen und sich die Lehrer nicht an beiden Enden der Reihe befinden.

Diese linearen Anordnungen entsprechen den zulässigen Möglichkeiten, Schüler und Lehrer um den Tisch herum zu platzieren. Um die Rotationsinvarianz zu berücksichtigen, teilen wir die Anzahl der linearen Anordnungen durch$8$, was ergibt

$$\frac{96 \cdot 5!}{8} = 12 \cdot 5! = 1440$$ zulässige Sitzordnungen um einen runden Tisch herum, wie Sie festgestellt haben.

Studenten$S_1,\dots,S_5$, Lehrer$T_1,T_2,T_3$. Angenommen, wir setzen$S_1$auf einen bestimmten Sitzplatz. Dann gibt es$4!=24$Möglichkeiten, die Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn für die verbleibenden Schüler zu wählen. Es gibt zwei 5 mögliche Positionen für die Lehrer. Wir können wählen, welche davon unbesetzt bleiben${5\choose2}=10$Wege, dann stelle die Lehrer in die anderen hinein$3!=6$Wege. Wir haben also 1440 Wege erreicht.

Aber jetzt könnten wir für jede dieser Möglichkeiten alle um den Tisch rotieren (wobei die Reihenfolge gleich bleibt), also eine Gesamtsumme von$8\cdot1440=11520$Wege.